No es demasiado difícil demostrar que el campo de división de $f(x) = x^3 - 2 \in \mathbb{Q}[x]$ en $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{Q}(2^{1/3}, \omega)$ donde $\omega$ es una raíz tercera no trivial de la unidad (un poco de trabajo muestra que también se puede escribir como $\mathbb{Q}(2^{1/3}, \sqrt{-3})$ ). Sin embargo, como se espera de una extensión de grado 6, el polinomio mínimo también es de grado 6: $x^6 + 9x^4 - 4x^3 + 27x^2 + 36x + 31$ . ¿Existe alguna relación entre este polinomio mínimo de mayor grado y el polinomio de tercer grado con el que empezamos, considerando que ambos generan el mismo campo de división? Esto pretende ser una pregunta general, lo anterior es sólo un ejemplo.
EDIT: Una aclaración y generalización de la pregunta. Disculpas por la falta de claridad anterior, veo que hice demasiadas suposiciones y demás.
Dado un campo $K$ y un polinomio $f(x)\in K[x]$ Suponiendo que podamos encontrar una extensión de campo $K(\alpha_1, ..., \alpha_n) \cong K[x]/(f)$ ¿existe alguna relación entre $f$ y el polinomio mínimo de alguna combinación lineal del $\alpha_i$ (que involucra a todos los $\alpha_i$ .
La razón por la que pregunto esto es que esperaría que hubiera algo que los relacionara ya que tanto el polinomio original como el polinomio mínimo resultante darán lugar a la mencionada extensión de campo.
