¿Existe una relación entre el polinomio que genera un campo de división y su polinomio mínimo?

Question

No es demasiado difícil demostrar que el campo de división de $f(x) = x^3 - 2 \in \mathbb{Q}[x]$ en $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{Q}(2^{1/3}, \omega)$ donde $\omega$ es una raíz tercera no trivial de la unidad (un poco de trabajo muestra que también se puede escribir como $\mathbb{Q}(2^{1/3}, \sqrt{-3})$ ). Sin embargo, como se espera de una extensión de grado 6, el polinomio mínimo también es de grado 6: $x^6 + 9x^4 - 4x^3 + 27x^2 + 36x + 31$ . ¿Existe alguna relación entre este polinomio mínimo de mayor grado y el polinomio de tercer grado con el que empezamos, considerando que ambos generan el mismo campo de división? Esto pretende ser una pregunta general, lo anterior es sólo un ejemplo.

EDIT: Una aclaración y generalización de la pregunta. Disculpas por la falta de claridad anterior, veo que hice demasiadas suposiciones y demás.

Dado un campo $K$ y un polinomio $f(x)\in K[x]$ Suponiendo que podamos encontrar una extensión de campo $K(\alpha_1, ..., \alpha_n) \cong K[x]/(f)$ ¿existe alguna relación entre $f$ y el polinomio mínimo de alguna combinación lineal del $\alpha_i$ (que involucra a todos los $\alpha_i$ .

La razón por la que pregunto esto es que esperaría que hubiera algo que los relacionara ya que tanto el polinomio original como el polinomio mínimo resultante darán lugar a la mencionada extensión de campo.

Answer 1

Si $K$ es un campo de característica cero, si $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ son algebraicas sobre $K$ si no hay un subconjunto adecuado $S$ de $\{\,\alpha_1,\dots,\alpha_n\,\}$ tal que $K(S)=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ entonces hay alguna combinación lineal $\alpha=\sum c_i\alpha_i$ tal que $K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=K(\alpha)=K[x]/(f)$ , donde $f$ es el polinomio mínimo para $\alpha$ .

En la otra dirección, si se comienza con $f$ irreducible sobre $K$ entonces habrá muchas formas de encontrar $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ tal que $K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=K[x]/(f)$ y no hay razón para pensar que hay una combinación lineal $\alpha=\sum c_i\alpha_i$ tal que el polinomio mínimo de $\alpha$ está relacionado con $f$ (aunque hay un cierto margen de maniobra aquí, ya que no está del todo claro lo que quieres decir con "cualquier relación").

Considere este ejemplo. Sea $K$ sean los racionales, y que $f$ sea el polinomio mínimo para $\sqrt2+\sqrt6$ entonces $K(\sqrt2,\sqrt3)=K[x]/(f)$ pero no hay ninguna combinación lineal racional de $\sqrt2$ y $\sqrt3$ con un polinomio mínimo $f$ .