$\newcommand\CC{\mathsf{C}}$ La noción de categoría es conocido. Existen múltiples definiciones equivalentes; las categorías pequeñas pueden verse como un categoría interna en $\mathsf{Set}$ Es decir
- una pareja $(\CC_0, \CC_1)$ de conjuntos (respectivamente, objetos y morfismos);
- asigna el "objetivo" y la "fuente". $d_0, d_1 : \CC_1 \to \CC_0$ ;
- un mapa de "identidad" $s_0 : \CC_0 \to \CC_1$ ;
- un mapa de composición $\gamma : \CC_1 \times_{\CC_0} \CC_1 \to \CC_1$ ;
que satisface algunos axiomas (véase el $n$ Lab page para más detalles, básicamente los axiomas de un conjunto simplicial truncado, la asociatividad y la unicidad para la composición).
Esta noción se dualiza fácilmente y se puede definir un pequeña cocategoría para ser una categoría interna en $\mathsf{Set}^\mathrm{op}$ .
¿Cómo entender esta noción de cocategoría?
Desde la definición, una cocategoría es un par de conjuntos $(\CC^0, \CC^1)$ con los mapas "cotarget" y "cosource" $d^0, d^1 : \CC^0 \to \CC^1$ , una "coidentidad" $s^0 : \CC^1 \to \CC^0$ y un mapa de cocomposición $\gamma^c : \CC^1 \to \CC^1 *_{\CC^0} \CC^1$ , satisfaciendo algunos axiomas. He tratado de jugar con los axiomas, pero no tengo realmente una intuición de lo que está pasando. Creo que primero debería tratar de entender qué es un cógrafo (todo menos el $\gamma^c$ ), y luego añadir el $\gamma^c$ pero incluso así parece difícil ponerle nombre a las cosas (¿cosource? ¿cotarget?...). Y el pushout en la definición de $\gamma^c$ me desconcierta, ¿por qué un objeto debe ir en un factor o en otro...?
Otra definición de (dg-)categorías con un conjunto determinado de objetos $X$ es la siguiente: considere el anillo $$k\{X\} = \Bbbk[1_x]_{x \in X} / (1_x 1_y - \delta_{x,y} 1_x).$$ (En otras palabras, es un $k$ -generada por idempotentes ortogonales $1_x$ .) Entonces una categoría dg sobre $\Bbbk$ con un conjunto de objetos $X$ es una álgebra dg asociativa y unital $A$ en $\Bbbk\{X\}$ (los morfismos $x \to y$ son los elementos de $1_x \cdot A \cdot 1_y$ ). Del mismo modo, se puede definir una categoría dg sobre $\Bbbk$ con un conjunto de objetos $X$ como una dg-coalgebra (coasociada, counital) sobre $\Bbbk\{X\}$ .
¿Está esta noción relacionada con la anterior?
