prueba de la existencia de una solución con $ f \in L^1$

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio abierto en $\mathbb {R^n}$ y $f \in L^1(\Omega)$ entonces cómo podemos demostrar que hay una solución débil $u \in W^{2,2}(\Omega) \cap W^{1,2}_0(\Omega)$ para el problema $$\begin{cases} \Delta^2u=f & in\hspace{.2cm} \Omega \\ u>0 & in \hspace{.2cm} \Omega \\ u=\Delta u =0 & on\hspace{.2cm} \partial \Omega \end{cases}$$

Answer 1

Esto no es correcto, por varias razones.

1. No se puede esperar $u > 0$ .
2. Si $f \in L^1$ En el mejor de los casos $u \in W^{2,p}$ con $p < \frac{n}{n-2}$ . Así que $u \in W^{2,2}$ si $n \le 3$ .
3. Si $\Omega$ es un conjunto abierto arbitrario, entonces $u$ ni siquiera tiene que estar en $W^{2,p}$ debido a las singularidades cerca del límite.