Límite $n \rightarrow \infty \frac{n}{e^x-1} \sin\frac{x}{n}$

Question

Estoy trabajando con algunas preguntas de práctica y parece que no puedo conseguir esta. Introduciendo esto en wolfram alpha sé que el límite debería ser $\frac{x}{e^x-1}$ pero estoy teniendo un poco de problemas para resolver esto.

He intentado reescribir el límite como $\frac{\frac{n}{e^x-1}}{\csc(\frac{x}{n})}$ entonces aplicar la regla de L'Hopital unas cuantas veces es bastante complicado.

¿Existe una forma más fácil de calcular este límite que yo no esté viendo?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

pista : $n \sin\left(\dfrac{x}{n}\right) = x\cdot \dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{n}\right)}{\dfrac{x}{n}}$

Answer 2

Tenemos $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{{e^x} - 1}}\sin \left( {\frac{x} {n}} \right) = \frac{1}{{{e^x} - 1}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\sin \left( {\frac{x}{n}} \right) = \frac{x}{{{e^x} - 1}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin \left( {\frac{x}{n}} \right)}}{{\frac{x}{n}}} = \frac{x} {{{e^x} - 1}}$$ desde $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin \left( {\frac{x} {n}} \right)}} {{\frac{x} {n}}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sin u}} {u} = 1\,\,\,\left( {u = \frac{x} {n}} \right)$$

Answer 3

Otra forma más.

Dejemos que $x \neq 0$ . Tenga en cuenta que $\sin \frac{x}{n} = \frac{x}{n} - \frac{(x/n)^{3}}{3!} + o(1)$ como $n \to \infty$ . Pero entonces $$ \frac{n\sin \frac{x}{n}}{e^{x} - 1} = \frac{x - \frac{x^{3}}{3!n^{2}} + o(1)}{e^{x}-1} \to \frac{x}{e^{x}-1} $$ como $n \to \infty$ .

Answer 4

Con los equivalentes, esto es trivial: $\;\sin \dfrac xn\sim \dfrac xn\enspace(n\to\infty)$ Por lo tanto $$\frac n{\mathrm e^x -1}\,\sin \frac xn\sim\frac n{\mathrm e^x -1}\frac xn=\frac x{\mathrm e^x -1}.$$