¿Cómo se llama una frecuencia que varía por una función?

Question

Tengo un concepto sobre el que necesito aprender más, pero no sé cómo se llama, así que no estoy seguro de qué términos de búsqueda utilizar para buscarlo.

Pido disculpas de antemano porque, aunque me siento cómodo con los conceptos abstractos, se agradece mucho la terminología de los legos, ya que soy autodidacta. Igualmente, espero que mi explicación no sea demasiado confusa. ¡¡¡Gracias por entender!!!

Este es el concepto:
Necesito resolver el fasor [función de onda] que tiene la forma de una curva clotoide en lugar de la forma de un círculo. Por "resolver", quiero decir que si la muestro en una posición fija en un momento discreto del tiempo, puedo determinar la altura de la onda. [Digo altura, no amplitud, porque quiero el valor instantáneo].

Necesito saber cómo se llama tal cosa.

No espero una solución, busco un punto de partida.

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Explicación detallada

Antecedentes del problema:
Estoy escribiendo un programa de ordenador que se ejecuta en tiempo real. Normalmente, cuando tengo una función de onda como un sonido o un movimiento armónico, simulo un "fasor" [círculo giratorio] actualizando el valor angular en cada fotograma por el tiempo delta multiplicado por mi tasa angular, por ejemplo, un simple integrador de Euler. (Si es delicado como un resorte apretado, podría usar un integrador de orden superior, pero el concepto sigue siendo el mismo). Luego, para producir mi sonido, calculo la altura de la onda tomando el seno del ángulo en ese instante de tiempo y lo escribo en el buffer de sonido. Esto funciona como un campeón.

Si se trata de un oscilador accionado, "empujo" la velocidad del fasor por la altura de onda del conductor en ese momento, como si se aplicara un par/impulso. Si las frecuencias son resonantes, el círculo comenzará a girar por sí mismo y obtendré un tono armónico. Esto también funciona bien.

El problema:
Ahora, de repente me encuentro con una función de onda que no es uniforme y no estoy seguro de cómo simularla iterativamente. La parte pegajosa es que necesito aplicarle un conductor, pero el conductor tampoco es uniforme.

No tengo una función para el conductor. En su lugar, se me da la velocidad angular instantánea que puede cambiar arbitrariamente de un fotograma a otro en función de la entrada del usuario. Por lo tanto, la única cosa que tengo que trabajar es la función de onda de destino. Técnicamente, tampoco tengo una ecuación para eso, pero tengo una imagen mental de la "sensación" que quiero.

Si en mi imaginación una onda sinusoidal se siente como un círculo, la forma de onda que deseo manejar se siente definitivamente como un bucle de montaña rusa. Estoy bastante seguro de que es una curva clotoide.

Ahora, sé que la forma paramétrica de una curva clotoide son las integrales de Fresnel. Tratar de hacer converger una serie en cada fotograma es un poco lento para el tiempo real, pero tengo una aproximación polinómica de trabajo que es "lo suficientemente cerca", así que estoy bien allí. Puedo calcular la gráfica cartesiana del bucle sin demasiados problemas.

Pero ahora quiero aplicar un conductor a la onda, aieeee.

Con una función sinusoidal, no importa en qué parte del círculo aplique el par porque es uniforme. Del mismo modo, no importa qué punto de la curva muestreo, siempre y cuando muestre el mismo punto en cada fotograma.

Pero ahora, ninguna de estas cosas es ya cierta. La velocidad [frecuencia] ¡cambia en función de mi distancia a lo largo de la curva!

Mi instinto me dice que si imaginara la onda conducida como una pulsera de mujer con una cuenta en ella, el periodo de la cuenta cambiaría a medida que la frecuencia del conductor cambia en el tiempo, pero no de forma lineal debido a la naturaleza de la onda subyacente. Yo no conozca que esto sea cierto, pero mi sentido arácnido está hormigueando y me dice algo sucede algo curioso con la oscilación.

Por ello, tengo muchas dudas sobre si empezar a tomar muestras de puntos o cualquier otra cosa tan ingenua. Necesito más información para diseñar un enfoque.

¿Alguien tiene idea de cómo se puede llamar esto o qué debo buscar en la web?

¡¡¡Gracias de nuevo!!!

Answer 1

¡Bingo! Todavía no tengo un nombre formal en sí, pero sí sé cómo resolver la función. Para cualquiera que se encuentre con esto:

La respuesta es mucho más fácil de lo que parece. Como todas las buenas matemáticas, la solución es completamente obvia cuando la ves.

Tienes que resolver el fasor como una esfera, no como un círculo. Si se envuelve la función clotoide (espiral de Euler) en una esfera, ahora se puede iterar rotando la esfera en cada fotograma, lo que no es del todo diferente a la forma en que estaba calculando la sinusoidal.

La razón es sencilla: Una integral define intrínsecamente cambiar. No se puede visualizar el cambio sobre el espacio/tiempo de una forma bidimensional en dos dimensiones... se necesitan tres. Debería haberme dado cuenta de esto una vez que supe que la forma paramétrica de la curva clotoide era una integral.

Hay un gran documento aquí que profundiza en las matemáticas:
"Cáscaras de naranja e integrales de Fresnel", Barthholdi y Henriques

Pero el quid de la cuestión se resume en estas dos imágenes: