Demostrar que $L^1\cap L^{\infty }\subseteq L^p$ para todos $p\in [1,\infty]$

Question

Mi trabajo:

Dejemos que $f\in L^1\cap L^{\infty }$ entonces $\left \| f \right \|_1,\left \| f \right \|_{\infty}$$ <infty$

$\left ( \int _X\left | f \right |^pd\mu \right )^{1/p}=\left ( \int _X\left | f \right |^{p-1}\left | f \right |d\mu \right )^{1/p}\leq \left ( \left \| f \right \|_{\infty}^{p-1}\left \| f \right \|_1 \right )^{1/p}< \infty$

Entonces $f\in L^p$

¿Correcto?

( $(X,A,\mu)$ es el espacio de medida dado)

Answer 1

Sí, esto es correcto. Tal vez se podría añadir un paso después de la primera igualdad, diciendo que $\lvert f(x)\rvert \leqslant \lVert f\rVert_\infty$ para casi todos los $x$ por lo que $\lvert f(x)\rvert^{p-1} \leqslant \lVert f\rVert_\infty^{p-1}$ casi en todas partes.