$f(yf(\frac{x}{y})) = \frac{x^4}{f(y)} $

Question

Resolver una ecuación funcional $$f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+; \; f(yf(\frac{x}{y})) = \frac{x^4}{f(y)} $$

Estoy atascado en el principio. Cualquier pista será de ayuda.

Answer 1

Dejemos que $f(1)=k$ . Poner $x=y=1$ y obtenemos $f(k)=\frac{1}{k}$ .

Poner $y=x$ y obtenemos $f(kx)=\frac{x^4}{f(x)}$ Así que $f(x)f(kx)=x^4$ (*)

Poner $x=ky$ y obtenemos $f(\frac{y}{k})=\frac{k^4y^4}{f(y)}$ Así que $f(y)f(\frac{y}{k})=k^4y^4$ . Esto es válido para todos los $y$ por lo que también es válida para $y=kz$ y por lo tanto $f(z)f(kz)=k^8z^4$ (**)

Comparando (*) y (**), tenemos $k=1$ . Por lo tanto, $f(x)=x^2$ . Es fácil comprobar que satisface la ecuación original.

Answer 2

Dejemos que $f(x) = x^2.$ Vemos que

$$f(yf\left(\frac{x}{y}\right)) = f(y\frac{x^2}{y^2}) = f\left(\frac{x^2}{y}\right) = \frac{x^4}{y^2} = \frac{x^4}{f(y)}.$$