En caso de que no sea negativo $f$ tal que $\int_1^\infty |f'(t)|dt < \infty$ , $\sum f(k)$ y $\int_1^\infty f(t)dt$ converger o divergir juntos

Question

Supongamos que $f\in C^1([1, \infty))$ , $f>0$ y $\int_{1}^\infty |f'(t)|dt < \infty$ . Quiero demostrar que $\sum_1^\infty f(k)$ y $\int_1^\infty f(t)dt$ son ambos convergentes o ambos divergentes.

Un enfoque podría ser tratar de demostrar que $\lim_{n\to \infty}(\sum_1^n f(k) - \int_1^n f(t)dt)< \infty$ que es verdadera bajo la hipótesis adicional de que $f$ es monótonamente decreciente. Pero no he conseguido demostrar esto, y sospecho que no es cierto.

Una cosa que se me ha ocurrido es que $\forall \epsilon >0$ , $f$ es eventualmente Lipschitz con la constante Lipschitz $\epsilon$ que podemos ver de la siguiente manera: tomar $x_{\epsilon}$ tal que $\forall x > x_{\epsilon}$ $|f'(x)|<\epsilon$ . Entonces $\forall x,y > x_{\epsilon}$ tenemos $|f(x) - f(y)| = |\int_{y}^{x}f'(t)dt| \leq \int_x^y|f'(t)|dt \leq |y-x|\varepsilon$ . Pero estoy teniendo problemas para aprovechar esta información en una solución. ¿Alguna idea?

Answer 1

Una pista: Considere $$ \sum_{k=1}^\infty\color{#C00000}{\int_k^{k+1}|f(x)-f(k)|\,\mathrm{d}x} $$ Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \left|\int_k^{k+1}f(x)\,\mathrm{d}x-f(k)\right| &=\left|\int_k^{k+1}(f(x)-f(k))\,\mathrm{d}x\right|\\ &\le\color{#C00000}{\int_k^{k+1}|f(x)-f(k)|\,\mathrm{d}x}\\ &=\int_k^{k+1}\left|\int_k^xf'(t)\,\mathrm{d}t\right|\,\mathrm{d}x\\ &\le\int_k^{k+1}\int_k^x|f'(t)|\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x\\ &=\int_k^{k+1}\int_t^{k+1}|f'(t)|\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t\\ &=\int_k^{k+1}(k+1-t)|f'(t)|\,\mathrm{d}t\\ &\le\int_k^{k+1}|f'(t)|\,\mathrm{d}t \end{align} $$