El espacio local de Sobolev, definido como $W^{k,p}_{loc}(\Omega)$ es el espacio tal que para cualquier $u \in W^{k,p}_{loc}(\Omega)$ y cualquier compacto $V\subset \Omega$ , $u \in W^{k,p}(V)$ . Sólo me pregunto si para cualquier $u\in W^{k,p}_{loc}(\Omega)$ existe ${u_n}\in C^\infty(\Omega)$ , de tal manera que $u_n \rightarrow u$ en $W^{k,p}(V)$ para cualquier compacto $V\subset \Omega$ . ( $C^\infty(\Omega)$ es denso en $W^{k,p}(\Omega)$ Me pregunto si esto también es cierto para $W^{k,p}_{loc}(\Omega)$ )
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KevinM
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La construcción estándar de los moledores debería seguir siendo válida en este espacio. Sea $\phi_n$ ser mollares estándar, $\operatorname{supp}{\phi_n} \subset B_{\frac{1}{n}}(0), f \in W^{k, p}_{loc}(\Omega)$ . Entonces $f * \phi_n$ converge a $f$ en cualquier $W^{k, p}_{loc}(K)$ (por el argumento estándar sobre $K \backslash B_{\frac{1}{n}}(\partial K)$ y en todas partes ya que esta franja alrededor del límite se encoge para medir 0 y $f * \phi_n$ está acotado independientemente de n).
sleske
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La respuesta es sí para $V\subset\Omega$ para lo cual $\bar V\subset\Omega$ .
Dejemos que $U_1\subset \bar{U}_1 \subset U_2 \subset \bar U_2\subset \cdots\subset U_n\subset\bar U_n\subset \cdots\subset \Omega$ , donde $\bar U_n$ compacto, para todos $n$ y $\bigcup U_n=\Omega$ . Evidentemente, cada uno de estos $V$ existe un $n$ , de tal manera que $\bar V\subset U_n$ . Esta secuencia de dominios puede obtenerse fácilmente, es decir, $U_n=B(0,n)\cap \{x\in\Omega: \mathrm{dist}(x,\partial\Omega)<1/n\}$ .
Ahora, al arreglar un $u\in W_{\mathrm{loc}}^{k,p}(\Omega)$ y un $n_0\in \mathbb N$ podemos encontrar una secuencia $\{\varphi_{n_0,n}\}_{n\in\mathbb N}\subset C^\infty(\Omega)$ utilizando, por ejemplo, molinillos, convergiendo en $u|_{U_{n_0}}$ en la norma de $W^{k,p}(U_{n_0})$ . La secuencia deseada se obtiene entonces mediante un argumento diagonal estándar.
