Determinar el orden de G y el número de generadores necesarios.

Question

Supongamos que $G$ es un grupo con $g^2 = I$ para todos $g \in G$ . Demostrar que $G$ es necesariamente abeliana. Demostrar que si $G$ es finito, entonces $|G| = 2^k$ para algunos $k>=0$ y $G$ necesita al menos $k$ generadores.

Bien para la primera parte - G tiene orden dos por lo que debe ser el grupo cíclico con dos elementos. Así que tenemos $gI = Ig$ como las únicas formas de multiplicar el elemento por lo que G tiene que ser abeliano?

No sé cómo se podría demostrar la segunda parte. No puedo ver cómo $G$ ser finito significa $G$ tendrá necesariamente un orden de $2^k$ y necesitará al menos $k$ ¿Generadores?

Answer 1

Para la primera parte:

Sabes que para cualquier elemento $x \in G$ que $x^2 = e$ .

Hay muchas maneras de convertir esto en una prueba de que $G$ es abeliana.

Escoge cualquier $a, b \in G$ . Entonces $(ba)^2 = e = e*e = b^2 * a^2$ . Pero esto dice $baba = bbaa$ y ahora podemos cancelar $a$ de la derecha y $b$ de la izquierda para concluir $ab = ba$ .

Alternativamente $x^2 = e$ si $x = x'$ . Es decir, si y sólo si cada elemento es igual a su propio inverso.

Escoge cualquier $a, b \in G$ . Entonces $ab = (ab)' = b'a' = ba$ .

Como tercera aproximación, hay que tener en cuenta que $(ab)^2 = e$ significa $abab = e$ después de lo cual multiplicamos ambos lados por $ba$ a la derecha y llegar a la conclusión deseada poco después.

Para la segunda parte:

Supongamos que un primo $p > 2$ dividió el orden de $G$ . ¿Está usted familiarizado con el Teoremas de Sylow ?