¿Es esta serie $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n}$ ¿diferente o convergente?

Question

Llevo un par de días con este problema intentando solucionarlo pero no he conseguido nada hasta ahora. El problema dice que tenemos que demostrar si la serie dada a continuación es convergente o divergente, si es posible utilizar la prueba de comparación de límites.

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n}$$

Sinceramente estoy atascado con esto, he conseguido pasar la prueba de comparación de límites asumiendo $b_n=\frac{n}{10^n}$ pero luego se quedó en tratar de encontrar si la serie $b_n$ es convergente. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Utiliza el hecho de que si una serie converge absolutamente entonces converge, y utiliza el hecho que tienes:

$$\left|\frac{1+\sin n}{10^n}\right|\leq \frac{2}{10^n}$$

Answer 2

PISTA: Ambos $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1+1}{10^n}$$ y $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1-1}{10^n}$$ convergen. Esto es aplicable porque $-1\leqslant\sin x\leqslant1$