Esto debe ser muy fácil, pero por alguna razón soy incapaz de verlo:
Dejemos que $M$ sea un módulo de longitud finita sobre un anillo local noetheriano $A$ con campo de residuos $k$ .
Si $M$ es distinto de cero, entonces existe una $A-$ homomorfismo de módulo
$M \rightarrow k$ .
¿Cómo lo consigo?
En un extremo de un serie de composición para $M$ Hay un paso $N \subset M$ donde $M/N$ es simple. Si $x$ es un elemento no nulo de $M/N$ , entonces defina un mapa $A \to M/N$ por $a \mapsto ax$ . ¿Qué tiene que ser el núcleo? [No veo ninguna utilidad para los noetherianos aquí].
Dejemos que $M$ sea un módulo no nulo sobre un anillo conmutativo $A$ .
Si $M$ contiene un submódulo propio máximo $N$ entonces $M/N$ es isomorfo a $A/\mathfrak m$ para algún ideal máximo $\mathfrak m$ de $A$ .
Si $M$ está generado finitamente, contiene un submódulo propio maximal.
Si $M$ tiene una longitud finita, está generada finitamente.
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