El espacio de punto de corte localmente compacto debe ser $\mathbb R$ ?

Question

Supongamos que $X$ es un espacio métrico conexo y separable, y $X\setminus \{x\}$ tiene exactamente dos componentes conectadas para cada $x\in X$ .

Si $X$ es conectado localmente entonces $X\simeq \mathbb R$ . Esto se ha observado en las respuestas anteriores a

https://mathoverflow.net/a/319872/95718

y

https://mathoverflow.net/a/76139/95718 .

Mi pregunta es si la conclusión es la misma ( $X$ homeomorfo a los reales $\mathbb R$ ) si $X$ es localmente compacto ?

Answer 1

$X=\{(x, \sin(\frac{1}{x}): x >0\} \cup \{0\} \times \Bbb R$ parece un potencial contraejemplo.

editar Quitando los puntos no cortados para que

$X=\{(x, \sin(\frac{1}{x}): x >0\} \cup \left(\{0\} \times (\Bbb R \setminus (-1,1))\right)$ parece funcionar mejor (gracias a David Hartley ).