En esta pregunta $F$ representa un espacio de Hilbert complejo con producto interno $\langle\cdot\;,\;\cdot\rangle$ y la norma $\|\cdot\|$ . Sea $\mathcal{B}(F)$ sea el álgebra de todos los operadores lineales acotados en $F$ .
Supongamos que existe $(x_n)_n\subset F$ tal que $\lim_{n\to \infty}\|x_n-x\|=0$ . Si $A\in\mathcal{B}(F)$ Entonces, ¿por qué es cierto lo siguiente? $$\lim_{n\to \infty}\langle Ax_n\;,\;x_n\rangle=\langle Ax\;,\;x\rangle ?$$
Escribe $$ \begin{align} |\langle Ax_n, x_n \rangle-\langle Ax, x \rangle|&\leq |\langle A(x_n-x), x_n \rangle|+ |\langle Ax, x_n-x \rangle|\\ &\leq \lVert A\rVert\lVert x_n-x\rVert\lVert x_n\rVert + \lVert A\rVert\lVert x\rVert \lVert x_n-x\rVert \end{align} $$ por la desigualdad de C.S. Argumentar que se puede hacer menos de $\epsilon >0$ eligiendo $n$ suficientemente grande utilizando las hipótesis. Hay que tener especial cuidado con los casos en los que $\lVert A\rVert=0$ o $\lVert x\rVert=0$ .
Considere el mapa $v\mapsto\langle Av,v\rangle$ . Es continuo, ya que se puede obtener componiendo dos mapas continuos: el mapa $v\mapsto(Av,v)$ y el mapa $(v,w)\mapsto\langle v,w\rangle$ .
Por lo tanto, ya que $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ , $\lim_{n\to\infty}\langle Ax_n,x_n\rangle=\langle Ax,x\rangle$ .
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