Matrices cuadradas y teorema de las matrices elementales. Álgebra lineal.

Question

Estoy leyendo este texto:

y el teorema al que hace referencia está aquí:

No entiendo esta parte:

Por el teorema 2.11 se sabe que el sistema de ecuaciones lineales representado por $Ax = O$ sólo tiene la solución trivial. Pero esto implica que la matriz aumentada [A O] puede reescribirse en la forma [I O] (utilizando las operaciones elementales de fila correspondientes a $E_1$ , $E_2$ , . . . , y $E_k$ ). Así que, $E_k$ . . . $E_3E_2E_1A=I$ y se deduce que $A = E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-}1. . .E_k^{-1}$ . A puede escribirse como el producto de matrices elementales.

No entiendo nada de eso. ¿Cómo puede la matriz aumentada (esto sólo significa que es una matriz que incluye las constantes y los coeficientes derecho?) $[A | 0]$ se puede reescribir en la forma $[I |0]$ utilizando esas operaciones de fila?

Answer 1

matriz aumentada (esto sólo significa que es una matriz que incluye las constantes y los coeficientes, ¿verdad?)

Una notación abreviada para $A x = b$ es la matriz aumentada $[A \lvert b]$ .

En el caso anterior $A x = b \iff [A\mid 0]$ y $[I \mid 0 ] \iff I x = 0 \iff x = 0$ .

¿Cómo puede la matriz aumentada (..) $[A|0]$ se puede reescribir en la forma $[I|0]$ utilizando esas operaciones de fila?

Para los invertibles $A$ se puede utilizar la eliminación de Gauss para convertir $A$ en $I$ .

Cada operación de eliminación (multiplicar una fila con un múltiplo escalar distinto de cero, intercambiar dos filas, añadir una fila a otra fila) puede expresarse como una multiplicación con una matriz $E_i$ desde la izquierda.

Así que $$ E_k \dotsb E_1 A = I $$ es una forma de escribir la eliminación de Gauss exitosa en $k$ pasos de $A$ en $I$ .

Además, cada operación y, por tanto, cada $E_i$ es invertible. Así que tenemos $$ \begin{align} E_k E_{k-1} \dotsb E_1 A &= I \iff \\ E_k^{-1} E_k E_{k-1} \dotsb E_1 A = E_{k-1} \dotsb E_1 A &= E_k^{-1} \iff \\ E_{k-1}^{-1} E_{k-1} \dotsb E_1 A = E_{k-2} \dotsb E_1 A &= E_{k-1}^{-1} E_k^{-1} \iff \\ & \,\,\, \vdots \\ A &= E_1^{-1} \dotsb E_k^{-1} \end{align} $$ Multiplicamos ambos lados de la ecuación inicial por $E_k$ desde la izquierda. Entonces con $E_{k-1}$ desde la izquierda y así hasta multiplicar ambos lados con $E_1$ desde la izquierda. Así que nos liberamos $A$ .