El número de enteros $n$ con $100<n<200$ tal que $8$ divide $n^2-n-2$ y $27$ divide $n^2+2n-3$ .

Question

El número de enteros positivos que $n$ puede tomar entre el rango $100$ a $200$ .

Lo he intentado mucho con el método de factorización de primos pero no ha servido de nada.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$n^2-n-2=(n-2)(n+1)$$

$$n^2+2n-3=(n+3)(n-1)$$

Como $n+1-(n-2)=3,n-2,n+1$ son de paridad opuesta, exactamente uno de ellos debe ser divisible por $8$

Como $n+3-(n-1)=4,$ exactamente uno de ellos debe ser divisible por $27$

Ahora usa CRT para todos $2\cdot2$ posibles casos.

Answer 2

Lo que quiero es encontrar una solución. Siento que la que he encontrado es la única pero no me he parado a probarlo.

Las identidades $$(8t+2)^2-(8t+2)-2=8(8t^2+3t)\\(27s+24)^2+2(27s+24)-3=27(27s^2+50s+23)$$ establecen dos parametrizaciones, respectivamente para las ecuaciones diofánticas $$n^2-n-2=8y\\n^2+2n-3=27z$$

Tenemos $$100\lt8t+2\lt 200\iff 13\le t\le 24$$ que se corresponde con $$n\in\{106,114,122,130,138,146,154,162,170,178,\color{red}{186},194\}$$

También hemos $$100\lt 27s+24\lt 200\iff 3\le s\le 6$$ que se corresponde con $$n\in\{105,132,159,\color{red}{186}\}$$ De hecho, uno tiene $$(186)^2-186-2=\color{red}{8}\cdot4301\\(186)^2+2(186)-3=\color{red}{27}\cdot1295$$