La multiplicación de vasos en espacios H' es trivial

Question

En el libro Homotopic Topology de Fomenko, Fuchs y Gutenmacher, se define un espacio H' como un espacio topológico $Y$ , dotado de dos funciones: $\mu:Y\to Y\lor Y$ que se llama la comulgación, y $\nu:Y\to Y$ que se llama coinverso, tal que:
- $(Id_Y\lor\mu) \circ \mu : Y\to Y\lor Y\lor Y$ es homotópico a $(\mu \lor Id_Y)\circ \mu :Y\to Y\lor Y\lor Y$ (coasociación)
- $pr_1\circ \mu$ y $pr_2\circ \mu$ son homotópicas a $Id_Y:Y\to Y$ donde $pr_1,pr_2:Y\lor Y\to Y$ son las proyecciones.
- $(Id_Y\lor \nu) \circ \mu :Y\to Y$ es homotópica a la cartografía constante.

Este es un espacio "H". Ahora, la cuestión es demostrar que el producto de copas en los grupos de cohomología del espacio H' es trivial: es decir, el producto de copas de todos los elementos de la cohomología graduada de un espacio H es $0$ .

No sé cómo utilizar la comulgación y la coinversión de forma inteligente en ese contexto, ¿podéis ayudarme, por favor?

Muchas gracias.

Answer 1

Una pista:

1) Compruebe que el mapa diagonal $\Delta:Y\rightarrow Y\times Y$ es homotópico a un mapa que es factor a través de la inclusión $i:Y\vee Y\rightarrow Y\times Y$ .

Tenga en cuenta que $i(y)=(pr_1(y),pr_2(y)$ . Por lo tanto, $i\mu(y)=(pr_1(\mu(y)),pr_2(\mu(y))$ . Pero las suposiciones dan entonces que $i\mu$ es homotópico a $\Delta$ donde $\Delta(y)=(y,y)$ .

2) ¿Qué hace la inclusión $i$ en la cohomología?

Dejemos que $\pi_1,\pi_2:Y\times Y\rightarrow Y$ sean las proyecciones. Entonces $\pi_1i=pr_1$ y $\pi_2i=pr_2$ .

Por la fórmula de K\"unneth todas las clases de cohomología de $Y\times Y$ se dan como combinaciones de $\pi_1^*(\alpha)\cup \pi_2^*(\beta)$ para las clases $\alpha,\beta$ en $Y$ . Pero entonces $i^*(\pi^*_1(\alpha)\cup \pi_2^*(\beta))=pr_1^*(\alpha)\cup pr_2^*(\beta)$ .

Es un cálculo estándar que $H*(Y\vee Y)\cong H^*(Y)\oplus H^*(Y)$ donde el producto copa desaparece entre las clases de cohomología de ambos términos, es decir, ~ $pr_1(\alpha)\cup pr_2(\beta)=0$ si $\alpha$ y $\beta$ ambos tienen un grado distinto de cero.

3) Recuerde cómo $\Delta$ se utiliza en la definición del producto de la copa.

Creo que puedes arreglártelas.