Mostrar que $\frac{x}{1-x}\cdot\frac{y}{1-y}\cdot\frac{z}{1-z} \ge 8$.

Question

Si $x,y,z$ son positivas fracciones propias satisfacciones $x+y+z=2$, demuestran que, a $$\dfrac{x}{1-x}\cdot\dfrac{y}{1-y}\cdot\dfrac{z}{1-z}\ge 8$$

La aplicación de $GM \ge HM$, I se $$\left[\dfrac{x}{1-x}\cdot\dfrac{y}{1-y}\cdot\dfrac{z}{1-z}\right]^{1/3}\ge \dfrac{3}{\frac 1x-1+\frac 1y-1+\frac 1z-1}\\=\dfrac{3}{\frac 1x+\frac 1y+\frac 1z-3}$$

Entonces, ¿cómo proceder. Por favor, ayudar.

Answer 1

Escribir $(1-x)=a, (1-y)=b \text { and} (1-z)=c$

$x=2-(y+z)=b+c$

$y=2-(z+x)=a+c$

$z=2-(x+y)=a+b$

Por lo tanto tenemos la misma expresión en forma más simple:

$\dfrac{b+c}{a} \cdot \dfrac{a+c}{b} \cdot \dfrac{a+b}{c}$

Ahora hemos AM-GM:

$b+c \ge 2 \sqrt{bc}$

$a+c \ge 2 \sqrt{ac}$

$b+a \ge 2 \sqrt{ba}$

$\dfrac{b+c}{a} \cdot \dfrac{a+c}{b} \cdot \dfrac{a+b}{c} \ge \dfrac{2^3 abc}{abc} =8$, Hecho.

Answer 2

Dos pruebas de la desigualdad a la que se han publicado. El siguiente es simplemente un comentario. En el intento de solución de la cooperativa, la desigualdad $$\left(\frac{x}{1-x}\cdot\frac{y}{1-y}\cdot \frac{z}{1-z}\right)^{1/3}\ge \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3}\tag{1}$$ ha sido demostrado.

Uno puede completar las cosas por mostrar, bajo la hipótesis de $x+y+z=2$, que el lado derecho de (1) es $\ge 2$.

Sin embargo, eso no es cierto. Por ejemplo, tomar $x=\frac{5}{6}$, $y=\frac{5}{6}$, y $z=\frac{2}{6}$. Entonces $$\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3}=\frac{18}{10}\lt 2.$$

Así que demasiado ha sido regalado en la producción (1): probablemente no hay un camino directo hacia el resultado deseado.

Answer 3

Comenzamos estableciendo $a=1-x, b=1-y, c=1-z$, y tomando nota de que $a+b+c=1$. Las condiciones del problema implica que $a,b,c\in (0,1)$.

Ahora necesitamos de Maclaurin de la desigualdad: $$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{3}}\ge \sqrt[3]{abc}$$

Ignorando la parte media temporalmente, tenemos $\frac{1}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$ o $3\sqrt[3]{abc}\le 1$. Ignorando la primera parte y cuadrado, tenemos $\frac{ab+bc+ac}{3}\ge (\sqrt[3]{abc})^2\ge 3abc$, donde hemos multiplicado por $3\sqrt[3]{abc}\le 1$ en el último paso. Nos reorganizar esto para obtener $$ab+bc+ac\ge 9abc$$ luego de reorganizar el que para conseguir $$1-a-b-c+ab+bc+ac-abc\ge 8abc$$ El lado izquierdo factores como $(1-a)(1-b)(1-c)$; dividir por $abc$ y hemos terminado.

Answer 4

Tenga en cuenta que $x$, $y$ y $z$ son los lados de un triángulo. Deje $p$ ser la mitad de la perimiter (es decir, $p=\left(x+y+z\right)/2=1$). A continuación, te gustaría mostrar que $xyz\geq 8(p-x)(p-y)(p-z)$. A partir de la geometría sabemos que $xyz = 4RS$ donde $R$ $S$ el valor del radio de la circunferencia circunscrita al ámbito de la correspondiente triángulo. Además, $p(p-x)(p-y)(p-z)=S^2$ por la fórmula de Herón. Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$4RS\geq 8S^2/p$$ or equivalently $$R\geq 2S/p.$$ Considering the fact that $S=pr$ where $r$ is the inradius of the triangle, the last inequality is equivalent to $R\geq 2r$, que es un conocido geométrica de la desigualdad (la desigualdad de Euler).