Demostrar que la integral de una función es igual a la integral de otra

Question

Tenemos $f\in\mathcal{R}(\alpha)$ , donde $\mathcal{R}(\alpha)$ es la colección de todas las funciones integrables de Riemann-Stieltjes con respecto a . $g$ es una función acotada en $[a,b]$ y $Q=\{x\in[a,b]: f(x)\neq g(x)\}$ . Supongamos que $Q$ es finito y que $\alpha$ es continua en cada punto de $Q$ . Demostrar que $g\in\mathcal{R}(\alpha)$ y que $\int_a^b fd\alpha=\int_a^b gd\alpha$ .

He probado la primera parte, que $g\in\mathcal{R}(\alpha)$ de la siguiente manera:

Podemos escribir $g$ como $g=f-(f-g)$ . Desde $f(x)-g(x)=0$ cuando $x\not\in Q$ (por definición de $Q$ ), tenemos que $f-g$ es una función acotada con un número finito de discontinuidades, que se producen cuando $\alpha$ es continua, ya que $\alpha$ es continua en $Q$ . Así, $(f-g)\in R(\alpha)$ y, por lo tanto, ya que $f\in R(\alpha), (f-g)\in R(\alpha)$ tenemos que $g=f-(f-g)\in R(\alpha)$ .

Tengo dificultades para probar la segunda parte. Se agradece cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

Puede escribir la función $g-f$ como:

$g-f = 0 + t_{1} + ... + t_{n}$

En este caso, las funciones $t_{i}$ (Deja que $n = |Q|$ ) son cero en todas partes excepto en un único punto $x_{i}$ (es decir, los puntos en los que $f(x) \neq g(x)$ ). Se puede demostrar fácilmente que la integral de esas funciones $t_{i}$ será $0$ (ya que las sumas inferiores son siempre $0$ y estas funciones son integrables, por lo que la integral será $0$ ). Utilizando la linealidad de la integral se demuestra que la integral de $g-f$ es $0$ y por lo tanto demuestra el resultado principal.