Cómo podemos mostrar una secuencia convergente a casi seguro en la expectativa condicional

Question

Consideremos una secuencia de variables aleatorias i.i.d. $\left\{Z_i\right\}$ donde $\mathbb{P}\left(Z_i = 0\right) = \mathbb{P}\left(Z_i = 1\right) = \frac{1}{2}$ . Utilizando esta secuencia, defina una nueva secuencia de variables aleatorias $\left\{X_n\right\}$ de la siguiente manera: $$X_0 = 0 \\ X_1 = 2Z_1 1\\ X_n =X_{n1} +(1+Z_1 + \cdots +Z_{n1})(2Z_n -1)\ \ \forall \ \ n \geq 2$$

Demostrar que $\mathbb{E}\left[X_{n+1} \mid X_0, X_1, \cdots, X_n \right] = X_n$ casi seguramente para todos $n$ .

En este problema cómo podemos demostrar que la secuencia converge casi con seguridad a $X_n$ aplicando la expectativa iterada? He intentado de esta manera a través del enfoque de la expectativa iterada, pero no es capaz de proceder puede alguien mostrarme cómo hacerlo.

Answer 1

Los hechos:

1. $X_n$ es $(X_0,...,X_n)-$ medible (trivial)
2. $Z_n$ es $(X_0,...,X_n)-$ medible (inducción)
3. $Z_{n+1}$ es independiente de $(X_0,...,X_n)$ (inducción)

Usando esto:

$E[X_{n+1}|X_0,...,X_n]=E[X_n|X_0,...,X_n]+E[(1+...+Z_{n})(2Z_{n+1}-1)|X_0,...,X_n]$ (linealidad de la expectativa condicional) =

$=X_n+E[(1+...+Z_{n})(2Z_{n+1}-1)|X_0,...,X_n]$ (por el hecho 1) =

$=X_n+(1+...+Z_{n})E[(2Z_{n+1}-1)|X_0,...,X_n]$ (por el hecho 2)=

$=X_n+(1+...+Z_{n})E[(2Z_{n+1}-1)]$ (por el hecho 3)=

$=X_n$ (evaluación simple del valor de expectativa incondicional)

Esto demuestra que $X_n$ es una martingala.