Prueba $\int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f = \int_{a}^{b} f$

Question

En términos de cálculo, parece intuitivo. No estoy seguro de cómo formalizar una prueba.

Pf

Dejemos que $\epsilon > 0$ se le dará.

Desde $ \int_{a}^{b} f$ existe, $\bar{S}(f;P(\epsilon)) - \underline{S}(f;P(\epsilon))< \epsilon$

Desde $\int_{a}^{c} f$ existe, $\bar{S}(f;P_1(\epsilon)) - \underline{S}(f;P_1(\epsilon))< \frac{\epsilon}{2}$

Desde $\int_{c}^{b} f$ existe, $\bar{S}(f;P_2(\epsilon)) - \underline{S}(f;P_2(\epsilon))< \frac{\epsilon}{2}$

Tenemos $P_1 \cup P_2 = P$

Entonces $\inf\{\bar{S}(f;P|P$ de $[a,b]\} \leq \inf\{\bar{S}(f;P_1|P_1$ de $[a,c]\} + \inf\{\bar{S}(f;P_2|P_2$ de $[a,b]\}$

Así, $\int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f \geq \int_{a}^{b} f$

Del mismo modo, el supremum muestra $\int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f \leq \int_{a}^{b} f$

Así, $\int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f = \int_{a}^{b} f$

No estoy seguro de cómo mostrar que esto se mantiene independientemente del tamaño relativo de a,b y c.

Answer 1

No estoy seguro de lo que quiere decir con tamaños de $a, b, c$ . Supongo que te refieres a los valores que toman. En este caso, tenga en cuenta que puede asumir $a \le c \le b$ (todos los demás casos se tratan de forma similar) y se encuentra: $$\int_{a}^{c}fdx = \int_a^bf1_{[a,c)}dx$$ Y: $$ \int_c^b fdx= \int_a^bf1_{[c,b)}dx$$ Así que la conclusión se sigue por aditividad de la integral.