¿Cómo encontrar una línea de "mínimos cuadrados" con una pendiente conocida?

Question

Tengo rastreos de gps que conozca caen en un determinado patrón - una línea con un ángulo conocido . ¿Cómo encuentro la línea que minimiza las distancias de los puntos a ella pero que está en el ángulo correcto?

Lamentablemente, no puedo publicar una imagen por ejemplo.

Answer 1

Si entiendo bien, usted tiene un conjunto de $n$ puntos $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_k,y_k),..., (x_n,y_n)$ y se quiere ajustar una línea recta $y=ax+b$ cuyo coeficiente $a$ es conocido.

Se trata de un problema de regresión del tipo $Y(x)=b$ donde $Y(x)=y(x)-ax$

Hense $$b\simeq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (y_k-ax_k)$$

En este caso concreto ( $a$ conocido), el valor ajustado de $b$ es la misma si consideramos las distancias ortogonales.

Answer 2

Considere sus datos como puntos $(x_i,y_i)$ y tienes $n$ puntos de datos, entonces quieres encontrar $\beta_1 ,\beta_2$ tal que $y\simeq\beta_1+\beta_2x$ .
$$ X\beta= \begin{bmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ 1 & x_3 \\ \vdots & \vdots\\ 1 & x_n\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}=y $$ Si has recibido muchos datos de gps tu $X$ la matriz es alta y se puede encontrar un pseudoinverso como

$$ X^+=(X^TX)^{-1}X^T $$

Y entonces podrás encontrar la solución:

$$ \beta=X^+y $$

Su código MATLAB es

beta=X\y;

Ver aquí para más información.

---

Si $\beta_2$ se conoce y se quiere encontrar $\beta_1$ tal que, $y-\beta_2x\simeq\beta_1$ entonces

$$ X\beta= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots\\ 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_1-\beta_2x_1\\ y_2-\beta_2x_2\\ \vdots\\ y_n-\beta_2x_n \end{bmatrix} $$

$$ X^+=(X^TX)^{-1}X^T=(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots\\ 1 \\ \end{bmatrix})^{-1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots& 1 \end{bmatrix} $$ Y la respuesta será:

$$ \beta_1=X^+y=\frac{1}{n}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1-\beta_2x_1\\ y_2-\beta_2x_2\\ \vdots\\ y_n-\beta_2x_n \end{bmatrix}$$ $$ \beta_1=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (y_i-\beta_2x_i) $$