$N$ es divisible por $5$ si $a_0=0$ o $5$

Question

El problema dice que $$N=a_m.10^m+a_{m-1}.10^{m-1}+...+a_1.10+a_0$$ es divisible por $5$ si $a_0=0$ o $5$ .

Este es mi enfoque.

Es obvio que $a_0$ debe ser $0$ o múltiplo de $5$ . Lo he demostrado, $$N=a_m.10^m+a_{m-1}.10^{m-1}+...+a_1.10+a_0\equiv a_0\mod 5\\ \Rightarrow N\equiv a_0 \mod 5\\ \therefore N-5=a_0\\ 10.m-5=a_0$$ , donde $N=10.m$ .

Poner $m=1,2,3,..$ etc. obtenemos $a_0=5$ . Es obvio que $a_0=0$ también. De ahí la prueba.

Ahora tengo una duda. ¿Es correcto asumir $N=10.m$ ? No estoy seguro. Por favor, corríjanme si me equivoco. Cualquier enfoque alternativo también será útil.

Answer 1

Debe ser $$N\equiv a_0\pmod5\implies a_0-N\equiv a_0\equiv0\pmod5$$ como $5\mid N$ . Por lo demás, su solución está bien.

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De forma más concisa,

Si $a_0=0,5$ entonces $$N=a_m\cdot10^m+a_{m-1}\cdot10^{m-1}+\cdots+a_1\cdot10+a_0\equiv0\pmod5$$ Por el contrario, si $5\mid N$ entonces $$5(a_m\cdot2^m\cdot5^{m-1}+a_{m-1}\cdot2^{m-1}\cdot5^{m-2}+\cdots+a_1\cdot2)+a_0\equiv0\pmod5$$ Por lo tanto, $a_0\equiv0\pmod5\implies a_0=0,5$ como $0\le a_0<10$ .

Answer 2

Escribiría $N\equiv 0 \mod 5$ y esto se puede escribir en la forma $$N=a_0+5m$$ donde $m$ es un número entero.

Answer 3

Tiene una solución bastante sencilla.

$N$ es divisible por $5$ Así que $N=5k$ . La expresión de la derecha puede escribirse como $(5\lambda+a_0)$ . Por lo tanto, $a_0 = 5(k-\lambda)=5 \gamma$ , donde $k, \lambda$ son números enteros.