Expandir una función a series de potencias

Question

Tengo la siguiente función y trato de expandirla a una serie de potencias - $$F(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$$ alrededor de $X = 0$

Traté de sustituir $t = -x^2$ y se ha quedado atascado. Me gustaría recibir ayuda, ¡gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \frac{d}{dx}\frac{1}{1+x^2}=-\frac{2x}{(1+x^2)^2} $$ Así que \begin{align} F(x)&=-\frac{d}{dx}\frac{1}{1+x^2}=-\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n=\\ &=-\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}=-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n 2n x^{2n-1}=\\ &=-\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}2(n+1)x^{2n+1}=2\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}(n+1)x^{2n+1} \end{align}

Answer 2

También podemos aplicar el _serie binomial_ expansión.

Obtenemos \begin{align*} \frac{2x}{(x^2+1)^2}&=2x\sum_{n=0}^\infty \binom{-2}{n}x^{2n}\tag{1}\\ &=2x\sum_{n=0}^\infty \binom{n+1}{1}(-1)^nx^{2n}\tag{2}\\ &=2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(n+1)x^{2n+1}\\ &=2x-4x^3+6x^5+\cdots \end{align*}

Comentario:

• En (1) aplicamos el expansión de la serie binomial

• En (2) utilizamos la identidad binomial \begin{align*} \binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{p-1}(-1)^q \end{align*}

Answer 3

$$ \frac{2x}{(1+x^2)^2}=2x\sum_{i=0}^\infty (-1)^i (i+1)x^{2i}=\sum_{i=0}^\infty (-1)^i 2(i+1)x^{2i+1} $$