¿Se podría definir una función de la siguiente manera, sin llevar a una contradicción?

Question

Estaba reflexionando, ¿se podría definir una función tal que

$$T(a,b)^{T(c,d)}=T(a^c,b^d)$$

$a,b,c,d$ ?

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Hace unos minutos pregunté lo mismo y alguien pudo encontrar un ejemplo, el de $T(x,y)=1, x,y$ . Y aunque esto es completamente correcto, me preguntaba si existen más ejemplos no tan triviales.

Añadiré entonces un par de preguntas al post.

1. Se podría definir una función como esta última que mapea $T(a,b)$ a un número $w$ de nuestra elección?

Por ejemplo, ¿sería posible tener $T(8,25) = e$ ? Obsérvese que al definir $T(8,25)$ , también se está definiendo a su vez $T(8^8,25^{25})$ entre otros infinitos pares de valores en $T$ . No estoy seguro, sin embargo, si al definir $T(8, 25)$ también se está definiendo $T(2,2)$ Por ejemplo, lo que me lleva a mi siguiente pregunta.

2. Suponiendo que la respuesta a la pregunta $1$ es "sí", ¿es posible entonces asignar, de nuevo, otro par de elementos en $T$ a un número de nuestra elección, digamos... $T(2,2)=$ ? ¿O esto llevaría a una contradicción?

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$T(1,1)$ tendría que ser definitivamente igual a $1$ ya que $$T(a,b)^{T(1,1)}=T(a^1,b^1)$$

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¡Agradecería de verdad cualquier ayuda/pensamiento!

Answer 1

Si $T(1,b)\ne1$ entonces $T(c,d)=\log(T(1,b^d))/\log(T(1,b))$ es independiente de $c$ . Eso da $T(c,d)=T(d)$ . De la misma manera, hay $T(c,d)=T(c)$ .

En caso contrario, asuma $T(a,1)=T(1,b)=1$ .

Dejemos que $T(2,2)=X$ . Entonces $T(4,4)=X^X$ y $2^4=4^2$ Así que $T(16,16)=X^{(X^X)}=(X^X)^X=X^{(X^2)}$ Así que, o bien $X=1$ o $X^X=X^2$ así que $X=2$ .

Si hay algún valor $T(a,b)>0,T(a,b)\neq1$ entonces $$(T(a,b)^{T(c,d)})^{T(e,f)}=T(a^c,b^d)^{T(e,f)}=T(a^{ce},b^{df})=T(a,b)^{T(ce,df)}$$ así que $$T(c,d)T(e,f)=T(ce,df)\\T(c,d)=T(c,1)T(1,d)=1$$

Para concluir, o bien $T(a,b)=T(a)$ o $T(a,b)=T(b)$ .

Supongamos que $T(2)=2$ . Entonces $T(4)=T(2^2)=2^2=4$ . Si $T(k)=k$ entonces $$. 2^{2k}=4^k=T(4)^{T(k)}=T(4^k)=T(2^{2k})=2^{T(2k)}$$ así que $T(2k)=2k$ . Por inducción, $T(2^n)=2^n$ para todos $n\in\mathbb{N}$ Así que $2^{T(n)}=2^n$ y $T(n)=n$ para todos $n\in\mathbb{N}$ .