Extensión del difeomorfismo hasta el límite

Question

Supongamos que tengo dos conjuntos abiertos acotados con $C^2$ límite en $\mathbb{R}^n$ y tengo un diferencial $f:D_1\to D_2$ entre ellos. Estoy buscando algunos ejemplos en los que el mapa $f$ no se puede ampliar $C^2$ (supongo que ni siquiera homeomorfismo) hasta el límite. Es decir, su límite, como incrustado $C^2$ submanifold en $\mathbb{R}^n$ no son difeomórficos bajo la extensión. ¡Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

Dejemos que $D_1 = D_2 = \{ x^2 + y^2 <1\}$ y que

$$ f : D_1 \to D_2, \ \ f(r, \theta) = (r, g(r) + \theta)$$

donde $g : [0,1)\to \mathbb R$ es una función suave de modo que $g(x) = 0$ en $[0,\epsilon)$ y $g(r) \to \infty$ como $r\to 1$ . Este $f$ no puede extenderse de forma continua hasta el límite.