La prueba está en el libro Cálculo avanzado: Una introducción al análisis lineal por Leonard F. Richardson
Teorema (Bolzano-Weierstrass) : Dejemos que $x_n$ sea cualquier secuencia acotada de números reales, de modo que exista $M \in \mathbb{R}$ tal que $|x_n|\leq M$ para todos $n$ . Entonces existe una subsecuencia convergente $x_{n_k}$ de $x_n$ . Es decir, existe una subsecuencia $x_{n_k}$ que converge a algún $L \in [-M,M]$ .
Prueba: Utilizaremos el método de la superación de intervalos introducido anteriormente para demostrar la existencia de límites mínimos superiores. Sea $a_1=-M$ y $b_1=M$ . Así que $x_n \in [a_1,b_1]$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Sea $x_{n_1}=x_1$ . Ahora divide $[a_1,b_1]$ por la mitad utilizando $\frac{a_1+b_1}{2}=0$ .
i. Si existe $\infty$ -muchos valores de $n$ tal que $x_n \in [a_1,0]$ , entonces dejemos que $a_2=a_1$ y $b_2=0$ .
ii. Pero si no existen $\infty$ -muchos términos de este tipo en $[a_1,0]$ , entonces existe $\infty$ -muchos términos de este tipo en $[0,b_1]$ . En ese caso, dejemos que $a_2=0$ y $b_2=b_1$ .
Ahora bien, como existe $\infty$ -muchos términos de $x_n$ en $[a_2,b_2]$ Elige cualquiera $n_2>n_1$ tal que $x_{n_2} \in [a_2,b_2]$ por la mitad y escoge una de las mitades $[a_3,b_3]$ teniendo $\infty$ -muchos términos de $x_n$ en él. Entonces elige $n_3>n_2$ tal que $x_{n_3} \in [a_3,b_3]$ . Observe que $$|b_k-a_k|=\frac{2M}{2^{k-1}} \rightarrow 0$$
como $k \rightarrow \infty$ . Así que si $\epsilon > 0$ existe $K$ tal que $k \geq K$ implica $|b_k-a_k|< \epsilon$ . Por lo tanto, si $j$ y $k \geq K$ tenemos $|x_{n_j}-x_{n_k}|<\epsilon$ también. Por lo tanto, $x_{n_k}$ es una secuencia de Cauchy y debe converger. Como $[-M,M]$ es un intervalo cerrado, sabemos por un ejercicio anterior que $x_{n_k} \rightarrow L$ como $k\rightarrow \infty$ para algunos $L \in [-M,M]$ . $\blacksquare$
He recuadrado la parte que no entendía. No entiendo cómo sabemos qué intervalo tiene $\infty$ -muchos valores de n para $x_n$ para estar en ese intervalo. Tome $(-1)^n$ por ejemplo, siento que ambos intervalos $[-1,0]$ y $[0,1]$ tienen $\infty$ -muchos valores de $n$ tal que $x_n$ están en los intervalos, es decir $1 \in [0,1]$ y $-1 \in [-1,0]$ . ¿No son los números pares y los números Impares de $n$ ser infinitamente numerosos en $\mathbb{N}$ ? Desde $\mathbb{N}$ es $\infty$ -muchos, cómo podemos extraer un conjunto con $\infty$ -muchos y otro con números finitos? No puedo convencerme de aceptar esta parte.
