¿Qué y dónde se encuentra esta serie en los cuadernos de Ramanujan?

Question

La página de wikipedia sobre Ramanujan contiene las siguientes series:

$$ 1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{\pi} $$

$$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(4n+1) \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^3=\frac{2}{\pi}$$

Desgraciadamente, no hay ninguna referencia sobre dónde puedo encontrar esta serie en sus cuadernos (o en el conjunto de 5 volúmenes de Springer, para el caso), que es básicamente lo que busco.

Además, aunque ahora estudio matemáticas, todavía soy un novato, así que no sé lo suficiente sobre series infinitas como para poder clasificar esta serie. ¿Pertenece a un tipo de serie? ¿Existe una clase general de series a la que pertenezca esta serie?

En general, tengo muchas ganas de saber más sobre esta serie.

Answer 1

"Torneos de ciudades" mencionados en uno de los respuestas me acaba de recordar una revista muy animada, también de origen ruso, que desgraciadamente ya no se publica: Kvant ( Quantum ). No es una revista de matemáticas recreativas como tal. Pero sí ayuda a sus alumnos de secundaria a recrear las matemáticas. También tiene (tenía) una sección de problemas que creo que encajaría bien con lo que buscas.

Answer 2

Llego muy tarde a esta fiesta pero, para responder a una de tus preguntas, hay infinitas fórmulas

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{An+B}{C^n} \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^3=\frac{1}{\pi}$$

donde $A,B,C$ son números algebraicos. Algunos otros son

$$\begin{aligned}\frac{2\sqrt{2}}{\pi}&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{6n+1}{2^{3n}} \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^3\\ \frac{4}{\pi}&=\sum_{n=0}^\infty\frac{6n+1}{2^{2n}} \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^3\\ \frac{16}{\pi}&=\sum_{n=0}^\infty\frac{42n+5}{2^{6n}} \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^3\end{aligned}$$

y así sucesivamente. Pertenecen a la cuarta clase de fórmulas pi de Ramanujan. (He hablado del ejemplo de Wikipedia en mi blog Ramanujan una vez al día .)