Una matriz simétrica de rango $r$ es una suma de $r$ matrices simétricas de rango $1$

Question

He demostrado que un rango $r$ puede descomponerse en una suma de $r$ rango $1$ matrices de forma única hasta el cambio de base. Así que estoy tratando de demostrar el mismo problema para las matrices simétricas. Consideremos $n\times n$ matrices. Sé que $$ (\sum_{i=i}^{l} e_i)^t(\sum_{i=i}^{l} e_i), $$ donde $l\le n$ , da matrices simétricas que tienen rango $1$ y, además, abarcan el espacio vectorial de las matrices simétricas (y cuando $l=2$ forma una base), por lo que sé que efectivamente puedo escribir una matriz simétrica dada como suma de rango $1$ matrices simétricas, el problema es demostrar que puedo hacerlo con al menos $r$ matrices.

Para el primer problema, la idea era que para una matriz dada $A$ , simplemente pondríamos el espacio de la matriz en una base que $A$ sería $r$ filas independientes, y todas las demás filas serían $0$ Supongo que el problema para las matrices simétricas podría resolverse con una idea similar de un buen cambio de base, pero no puedo ver cómo quiero que sea la matriz.

Answer 1

Recordemos el teorema de la estructura para formas simétricas bilineales en espacios vectoriales de dimensión finita: si $b$ es una forma de este tipo en $V$ entonces hay una "ortogonal" (para $b$ ) descomposición $V=\bigoplus_i{A_i} \oplus \bigoplus_j{B_j}$ donde el $A_i$ son líneas, y el $B_j$ son planos, y hay una base $(b^1_j,b^2_j)$ de $B_j$ tal que $b(b^1_j,b^2_j)=1$ , $b(b^1_j,b^1_j)=b(b^2_j,b^2_j)=0$ .

Esto implica que si $S$ es una matriz simétrica, existe una matriz invertible $P$ tal que $P^TSP=\Delta$ es diagonal en bloque, con $s$ bloques $1 \times 1$ y $b$ bloques $\beta=\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}$ Por lo tanto $S$ tiene rango $r+2b$ , donde $r$ es el número de coeficientes diagonales no nulos.

Por tanto, basta con demostrar el teorema para $\beta$ . Bueno, $\beta=\begin{bmatrix}1 & 1/2 \\ 1/2 & 1/4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -1 & 1/2 \\ 1/2 & -1/4\end{bmatrix}.$