El functor de Picard no es lineal

Question

Dejemos que $S$ sea un esquema localmente noetheriano, $Y$ a localmente noetherien $S$ -esquema y $X$ un esquema abeliano sobre $S$ . Se sabe que el mapa entre grupos $Hom(Y,X) \to Hom(Pic(X/S),Pic(Y/S)), f \mapsto f^*$ es cuadrática, es decir, tenemos

$(f+g+h)^* - (f + g)^* - (f + h)^* - (h + h)^* + f^* + g^* + h^* = 0$ .

Sin embargo, $f \mapsto f^\*$ no es lineal. ¿Hay algún ejemplo fácil para $(f+g)^* \neq f^* + g^*$ ?

Esto está relacionado con el orden del functor $X \mapsto Pic(X/S)$ . La desigualdad anterior incluiría un haz de líneas no trivial en $X \times_S X$ que es trivial en los dos subesquemas cerrados $X \times 0, 0 \times X$ . También me interesa un ejemplo fácil para este fenómeno.

Answer 1

Dejemos que $E$ sea una curva elíptica; tome $f = g = \mathrm{id}_E$ . Entonces $f+g$ es la multiplicación por $2$ y tiene el grado $4$ por lo que si $L$ es una gavilla invertible en $E$ la gavilla $(f+g)^*L$ tiene grado $4 \deg L$ , mientras que $f^*L \otimes g^*L = L^{\otimes 2}$ tiene grado $2\deg L$ .