Demuestre que la intersección de dos conjuntos compactos es compacta, utilizando el criterio de Heine-Borel

Question

Utilizando el hecho de que:

S es compacto: toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita.

Pruébalo:

Dado $A,B \subset \Bbb R^n$ son conjuntos compactos, entonces $A\cap B$ es compacto.

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Aquí está mi intento, utilizando el hecho de que $A$ sigue el criterio de Heine-Borel anterior y $A \cap B \subset A$ :

Desde $A$ es compacto, toda cubierta abierta de $A$ tiene una subcubierta finita. Queremos demostrar que toda cobertura abierta en $A \cap B$ tiene una subcubierta finita.

Desde $A \cap B \subset A$ entonces toda cubierta abierta de A debe ser una cubierta abierta de $A \cap B$ (a partir de la definición de tapa abierta que se muestra a continuación).

Una colección de conjuntos ${U_\alpha}$ es un abrir la tapa os $S$ si $S$ está contenida en $\bigcup U_\alpha$ .

Desde $A$ es compacto, sabemos que toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita.

Por lo tanto, ya que $A \cap B \subset A$ y $A$ tiene una subcubierta finita para cada cubierta abierta, $A \cap B$ tiene una subcubierta finita para cada cubierta abierta.

¿Es ésta la forma correcta de enfocar este problema?

Gracias.

Answer 1

Una bandera roja aquí es que nunca usaste el hecho de que $B$ es compacto. Y hay que tener más cuidado con lo que se entiende exactamente por "tapa".

Se le da que $A$ y $B$ son subconjuntos compactos de $\mathbb R^n$ y quieres demostrar que $A\cap B$ es compacto, utilizando sólo la definición. Por lo tanto, da $A\cap B$ la topología del subespacio, y que $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in \Lambda}$ sea una cubierta abierta de $A\cap B$ . Por definición de la topología del subespacio, se abren $\{O_{\alpha}\}_{\alpha\in \Lambda}$ en $\mathbb R^n$ tal que $O_{\alpha}\cap(A\cap B)=U_{\alpha}$ . Entonces, y aquí utilizamos el hecho de que $A\cap B$ es cerrado (porque es la intersección de conjuntos compactos, por tanto, cerrados), los conjuntos $\{O_{\alpha}\}_{\alpha\in \Lambda}\cup \mathbb R^n\setminus A\cap B$ forman una cubierta abierta de $A$ y ahora podemos extraer una subcubierta finita que cubra $A$ Por lo tanto, cubre $A\cap B$ . Y como $\mathbb R^n\setminus A\cap B$ es $\textit{not}$ un elemento de cobertura de $A\cap B$ por lo que debe ser que la cubierta finita esté formada por elementos de $\{O_{\alpha}\}_{\alpha\in \Lambda}$ solo. Y ahora, desenrollando las definiciones, obtenemos una subcubierta finita de la cubierta original $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in \Lambda}$ .

Answer 2

En un enfoque muy general se puede considerar el siguiente resultado:

Propuesta: Sea $(X, \mathscr{T})$ sea un espacio topológico arbitrario, $K \subseteq X$ ser compacto (con la topología relativa) y $F \subseteq X$ un subconjunto cerrado. Entonces $K\cap F$ también es compacto.

Prueba: Como la intersección con un subconjunto absolutamente cerrado, $K \cap F$ será cerrado relativamente a la topología del subespacio en $K$ el resultado se deduce inmediatamente de la proposición general de que los subconjuntos cerrados de los espacios compactos son compactos . $\Box$

Este resultado general se aplica efectivamente a su caso, ya que cualquier subconjunto compacto en un espacio Hausdorff es necesariamente cerrado .

Intenta ver si puedes entender y demostrar la proposición mencionada al final, avísame si necesitas más detalles.