Estoy tratando de entender cómo la estimación de la densidad de la ventana de Parzen converge a la función de densidad real f(x) [En realidad estoy tratando de aprender el aprendizaje de máquinas por mi cuenta utilizando los recursos gratuitos disponibles. Por favor, ayúdeme en lo siguiente].
Dejemos que $f_n(x)$ sea la estimación de la densidad de la ventana de Parzen de la densidad real f(x). Dado $x_1,x_2....x_n $ son una muestra iid (dados los datos de entrenamiento).
Sea h el parámetro. $V_n$ sea un volumen (digamos un hipercubo). Ahora, en Parzen, tomamos la estimación de la función de densidad como la suma lineal de las funciones del núcleo en los puntos de la muestra. Para mostrar que la estimación converge a la f(x) real, lo hice de la siguiente manera (para cada tamaño de muestra n, $V_n, h_n$ varía y también como $n \to \infty, h_n \to 0, V_n \to 0, $ pero $n V_n \to 0$ )
$E(\hat f_n(x)) = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^n E(\frac{1}{V_n} \phi(\frac{x-x_i}{h_n})) \\ = E(\frac{1}{V_n} \phi(\frac{x-x_i}{h_n})) \\= \int \frac{1}{V_n} \phi(\frac{x-x_i}{h_n}) f(z) dz$ (ya que cada expectativa de plazo es la misma y $\phi $ sea alguna función de núcleo, f sea la densidad )
Arriba La última integral será (1)
Después de eso, ¿cómo proceder? Estoy siguiendo https://www.youtube.com/watch?v=esoVuEG-X1I&list=PLbMVogVj5nJSlpmy0ni_5-RgbseafOViy&index=13&t=2617s ( A las 26.01 )
Aquí el señor dice que esta integral (1) va a f(x) como $n \to \infty$ pero no entendí cómo.
Lo sé.
$\int \frac{1}{V_n}\phi(\frac{x-x_i}{h_n}) dz = 1$ (ya que $\phi$ es la función del núcleo)
Además, he intentado ampliar la integral final(1) utilizando la integración por partes
entonces $f(z)\int \frac{1}{V_n}\phi(\frac{x-x_i}{h_n}) dz - \int f'(z) \int \frac{1}{V_n}\phi(\frac{x-x_i}{h_n}) dz dz = f(z) - f(z)=0$ (ya que la integral de la función del núcleo suma 1)
Por favor, explique dónde lo he hecho mal o lo he entendido mal.
