¿Cómo se utiliza el método de los coeficientes indeterminados para resolver esta ED no homogénea?

Question

No sé a dónde ir desde aquí. ¿Acaso tengo esta ecuación bien? O se supone que es $y_p = (Ax+B)(C\cos(x) + D\sin(x))$

He probado ambos métodos y sigo atascado.

Answer 1

Normalmente, la solución particular a adivinar para un lado derecho de $2x \sin x$ sería $y_p = C_1 x \cos x + C_2 x \sin x + C_3 \cos x + C_4 \sin x$ . Sin embargo, en este caso, el coeficiente $i$ correspondiente al $\cos x, \sin x$ "espacio" es una sola raíz de la ecuación característica $\lambda^2 + 1$ por lo que tenemos que multiplicar por $x$ y la solución particular será de la forma $y_p = C_1 x^2 \cos x + C_2 x^2 \sin x + C_3 x \cos x + C_4 x \sin x$ .

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Una mnemotecnia útil para averiguar la forma de una solución particular, en ecuaciones en las que se aplicará el método de los coeficientes indeterminados, se llama a veces "método del aniquilador". Para aplicar este método a tu ejemplo, primero reescríbelo como $$(D^2+1)y = 2x \sin x.$$ Ahora, queremos aplicar un operador diferencial de coeficiente constante que hará que la ecuación se vuelva homogénea. En este caso, $2x \sin x$ es aniquilado por $(D^2+1)^2$ aplicando así $(D^2+1)^2$ a ambos lados, obtenemos $$(D^2+1)^3 y = 0.$$ La solución general de esta ecuación es: $$y = C_1 x^2 \cos x + C_2 x^2 \sin x + C_3 x \cos x + C_4 x \sin x + C_5 \cos x + C_6 \cos x.$$ Ahora, los dos últimos términos son la parte homogénea de la solución general de la ecuación original; por lo que los términos restantes, en este método, se convertirán en la forma de la solución particular.

(Tenga en cuenta que la aplicación de $(D^2+1)^2$ a ambos lados introdujo numerosas soluciones extrañas, por lo que ahora tenemos que volver a la ecuación original y sustituir para averiguar qué valores de $C_1, \ldots, C_4$ dará lugar a una solución).

Answer 2

He utilizado el método de variación de parámetros para resolver esta EDO. Así, la solución particular es $$y_p = \frac{1}{2} (x \sin x - x^2 \cos x)$$

Así que, si hubieras adivinado $y_p = A x \sin x + B x^2 \cos x$ o $y_p = (Ax + Bx^2) (C\sin x + D \cos x)$ , habrías obtenido la solución deseada. Sin embargo, no es nada sencillo adivinar este tipo de solución.

Su $y_p = (Ax + B) (C\sin x + D \cos x)$ Supongo que fue un buen intento; pero, como $BC\sin x + BD \cos x$ ya es la solución homogénea, no funcionó.