función de covarianza para el movimiento browniano

Question

¿Cuál sería la función de covarianza de $V(t) = (1-t) B[t/(1-t)]$ si $B(t)$ es un movimiento browniano estándar. También $t$ está entre $0$ y $1$ .

Gracias por la ayuda.

EDITAR:

Aquí es donde estoy atascado:

Creo que $Cov(V(t),V(s)) = E[V(t)V(s)]-E[V(t)][V(s)]$ . Sabemos que $E[V(t)]$ y $E[V(s)]$ son $0$ por lo que el segundo término desaparece. Ahora tenemos que hacer $E[V(t)V(s)]$ independiente para poder separarlo. Podemos hacerlo mediante $E[(V(t))(V(s)-V(t)+V(t))]$ que es igual a $E[V(t)V(s-t)] - E[(V(t))^2]$ . $E[V(t)V(s-t)]$ es $0$ y nos quedamos con $E[(V(t))^2]$ que es simplemente la Varianza de $V(t)$ . Volviendo a la subvención $B(t)$ en esta expresión, tenemos $Var((1-t)\cdot B[t/(1-t)])$ y aquí es donde estoy atascado... Gracias por la ayuda.

Answer 1

Pista: El puente browniano estándar, $X$ se puede definir por $X(t) = B(t) - tB(1)$ , $0 \leq t \leq 1$ . ¿Puedes calcular la función de covarianza de $X$ ?

EDITAR (más detalles).

Supongamos que $Y$ se define por $Y(t) = f(t)B(h(t))$ , para $t \in I$ . Entonces, para cualquier $s,t \in I$ (decir con $s \leq t$ (véase el comentario al final), $$ {\rm Cov}(Y(s),Y(t)) = {\rm Cov}(f(s)B(h(s)),f(t)B(h(t))) = f(s)f(t) {\rm Cov}(B(h(s)),B(h(t))) . $$ Ahora, para cualquier $u,v \geq 0$ , ${\rm Cov}(B(u),B(v)) = \min \{u,v\}$ . Por lo tanto, es fácil calcular ${\rm Cov}(B(h(s)),B(h(t)))$ cuando $h$ es una función monótona. Para comprobarlo, observe que la función de covarianza del proceso $V$ definido por $V(t)=(1-t)B(t/(1-t))$ es el mismo que el del proceso $X$ definido por $X(t)=B(t)-tB(1)$ , $t \in [0,1]$ . (Puede suponer que $V(1)=0$ .) Dado que la función de covarianza de un proceso gaussiano de media cero determina la ley de todo el proceso, se deduce que $V$ es un puente browniano estándar en $[0,1]$ (ya que $X$ es).

Observación general: Por simetría, basta con calcular las funciones de covarianza para $s \leq t$ sólo.