Prueba de $(u.v)=(u_{x}.v_{x}+u_{y}.v_{y}+u_{z}.v_{z})$ , suponiendo que $(u.v)=|u||v|cos\theta$ .

Question

Me encantaría cualquier tipo de prueba de esto.

Tengo una prueba geométrica muy elemental para $R^{2}$ . Eso es principalmente porque puedo representar fácilmente $cos\theta$ en forma de $\frac{u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}}{\sqrt{(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})}}$ .

No conozco una forma de representar $cos\theta$ en $R^{3}$ sin utilizar el producto punto.

Answer 1

Como parece que el candidato sigue teniendo dudas, he elaborado una respuesta en la wiki de la comunidad basada en las sugerencias hechas en los comentarios.

Hacer la definición $$u\cdot v:=\Vert u\Vert\Vert v\Vert\cos\theta,$$ donde $\theta$ es el ángulo entre $u$ y $v.$ Entonces $u\cdot u=\Vert u\Vert\Vert u\Vert\cos0=\Vert u\Vert^2=u_x^2+u_y^2+u_z^2,$ donde la última igualdad se deduce del Teorema de Pitágoras.

Por lo tanto, $$\begin{aligned} (u-v)\cdot(u-v)&=(u_x-v_x)^2+(u_y-v_y)^2+(u_z-v_z)^2\\ &=(u_x^2+u_y^2+u_z^2)+(v_x^2+v_y^2+v_z^2)-2(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z)\\ &=u\cdot u+v\cdot v-2(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z). \end{aligned} $$ Por otro lado $$ \begin{aligned} (u-v)\cdot(u-v)&=\Vert u-v\Vert^2\\ &=\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2-2\Vert u\Vert\Vert v\Vert\cos\theta\\ &=u\cdot u+v\cdot v-2u\cdot v, \end{aligned} $$ donde se utilizó la ley de los cosenos para obtener la línea $2.$ Comparando estas expresiones se obtiene el resultado.