¿Por qué la adición de un número negativo a un número positivo reduce el número positivo original?

Question

Hay una pregunta en stack overflow sobre la adición de números negativos a un número negativo. La pregunta se refiere a por qué 10 - -5 es igual a 5.

Estoy muy contento de que el resultado sea 5, pero por qué es 5 y no 15. Es filosófico o hay una razón concreta para ello?

La pregunta original se formuló aquí: https://stackoverflow.com/questions/5248734/impar-result-using-multiple-operator-in-c

ACTUALIZACIÓN

Así que, aparte del evidente error de transcripción, que se deja para la posteridad, creo que la pregunta original se mantiene. 10 - (-5) es igual a 15, bien, pero ¿en qué momento de la historia de las matemáticas se decidió esto? De la misma manera que el 0 no se usó siempre, hubo un momento en la historia en que fue de uso común. Del mismo modo, ¿cuándo un doble negativo se convirtió en un positivo en el lenguaje matemático común y, lo que es más importante, por qué?

Answer 1

A continuación demostramos $\rm\,\ 10\ -\ {-5}\ =\ 15\ $ es correcta (en general, véase el Ley de signos).

$\rm\qquad\qquad \: n\ =\ 10\ \ -\ {-}5$

$\rm\quad\iff\ \ n\ +\ {-}5 \ =\ 10\quad $ añadiendo $\,-5\:$ a ambos lados de lo anterior

$\rm\quad\iff\ \ n \ =\ 10\ +\ 5\quad\ \ \ $ añadiendo $\, \ 5\ \ $ a ambos lados de lo anterior

Alternativamente $\rm\ - (-x)\ =\: - (-x) +(-x + x) \ =\ (-(-x) + -x) + x\ =\ x$

es decir, ambos $\rm\: x\: $ y $\rm\:-(-x)\:$ son inversos de $\rm-x\:$ por lo que son iguales por la unicidad de los inversos.

La prueba utiliza sólo las leyes básicas de la aritmética, que la adición es asociativa y conmutativa, y cada número entero $\rm\:n\:$ tiene un inverso aditivo $\rm -n\:,\ $ es decir, los números enteros comprenden un abeliano aditivo grupo. Las leyes de los enteros negativos no se "decidieron", sino que se impusieron por la "persistencia de la forma", es decir, porque se requiere que la ampliación de los naturales a los enteros obedezca las mismas leyes que la estructura original. En particular, si se sigue el enlace anterior se verá cómo la ley de los signos se desprende de los axiomas del anillo -en particular el distributiva ley. La noción de anillo axiomatiza estas conocidas propiedades aritméticas de los enteros, racionales, polinomios, etc. La abstracción del anillo nos permite generalizar las propiedades de los enteros a diversas estructuras algebraicas que comparten propiedades algebraicas esenciales "similares a los enteros", estructuras que, a su vez, pueden permitirnos deducir de forma más sencilla propiedades de los enteros, por ejemplo, resolver ecuaciones diofantinas pasando a enteros gaussianos o campos numéricos algebraicos. El hecho de que podamos extraer resultados de lo general a estructuras más específicas se debe únicamente a dicha persistencia de la forma: las leyes son las mismas tanto si el número es positivo como negativo, racional o irracional, real o imaginario. Así, cualquier teorema de anillo que deduzcamos sobre los enteros se especializará en teoremas verdaderos sobre los naturales, y cualquier propiedad teórica de anillo que deduzcamos sobre los enteros gaussianos $\rm\ m + n\ i\ $ se especializará en las propiedades verdaderas de los números enteros, simplemente porque invocamos sólo las leyes del anillo que son verdaderas universalmente es decir, en cada anillo.

Answer 2

No estás sumando un número negativo, ¡lo estás restando!
10-(-5)=15
10+(-5)=5
10+-(-5)=15

En cuanto a las razones filosóficas:
No soy infeliz = soy feliz

Answer 3

Creo que has interpretado mal el hilo del SO. El usuario estaba descontento porque el ordenador daba 15 por 10 - - 5 y él esperaba (incorrectamente) que la respuesta fuera 5. Tampoco es propio de C#, todos los lenguajes de programación que conozco funcionan así y es la forma en que se enseña la aritmética básica. No veo cuál es el problema.