Dejemos que $(E, \|\cdot\|)$ sea un espacio vectorial real normado tal que para cualquier $a,b\in E$ , $$ \|x +y\|^2 + \|x-y\|^2 \geq 4 \|x\|\cdot \|y\| $$ Quiero demostrar que la norma es inducida por un producto interno. Cualquier sugerencia o referencia sería útil.
Respuesta
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Si $E$ es un espacio de Hilbert, una prueba debe establecer más o menos directamente que la desigualdad implica la ley del paralelogramo $\lVert x + y\rVert^2 + \lVert x-y\rVert^2 = 2\lVert x\rVert^2 + 2\lVert y\rVert^2$ para todos $x,y \in E$ . Dado que ambos, su hipótesis y la ley del paralelogramo, son condiciones de todo $2$ -subespacios dimensionales de $E$ se puede suponer que $\dim E = 2$ .
I. J. Schoenberg demuestra el siguiente resultado más fuerte como Teorema 2 en Una observación sobre la caracterización de M. M. Day de los espacios de producto interno y una conjetura de L. M. Blumenthal , Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 961-964:
Si la desigualdad $\lVert x + y \rVert^2 + \lVert x-y\rVert^2 \geq 4$ se mantiene para todos los vectores unitarios $x,y \in E$ entonces $E$ es un espacio de producto interno.
Después de reducir al caso $\dim E = 2$ la prueba procede mostrando que la desigualdad obliga a la curva $\Gamma$ descrito por $\lVert x \rVert = 1$ para ser una elipse. Para ello, Schoenberg demuestra que $\Gamma$ debe coincidir con el límite de la Elipse de Juan de la bola unitaria por un bonito argumento geométrico. La demostración se completa apelando al teorema de Day de que la ley del paralelogramo $\lVert x + y\rVert^2 + \lVert x-y\rVert^2 = 4$ para vectores unitarios caracteriza los espacios de producto interno, véase el teorema 2.1 en Algunas caracterizaciones de los espacios de producto interno , Trans. Amer. Math. Soc. 62 (1947), 320-337.
Añadido: Su hipótesis aparece como condición $(7)$ en el artículo de Schoenberg. En la nota 5 se señala que la ley del paralelogramo y su condición son equivalentes.
