Cuestión de desigualdad-Máximo

Question

El problema:

Dejemos que $a, b, c, d, e, f$ sean números reales no negativos tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 = 6$ y $ab + cd + ef = 3$ . ¿Cuál es el valor máximo de $a+b+c+d+e+f$ ?

¿Cómo puedo hacer esto? ¿Habría que utilizar Cauchy-Schwarz o alguno de esos tipos de desigualdades?

Editar: Mi pregunta es diferente del posible duplicado porque las respuestas en esa pregunta se basan en multiplicadores lagrangianos y la mía se basa en Cauchy-Schwarz

Answer 1

Usa Cauchy-Schwarz en los vectores $$x = \begin{pmatrix}a+b \\ c+d \\ e+f\end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\\ \end{pmatrix}$$ Entonces $$x\cdot x = (a+b)^2 + (c+d)^2 + (e+f)^2 \\= a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2+ 2ab+2cd+2ef \\=6+2\times3 \\=12$$ También, $y\cdot y = 3$ y $x \cdot y = a+b+c+d+e+f$ la cantidad que quieres maximizar. Cauchy-Schwarz dice $(x \cdot y)^2 \leq (x\cdot x)(y \cdot y)$ Así que $$ (a+b+c+d+e+f)^2 \leq 12 \times 3 \\a+b+c+d+e+f \leq 6$$

Además, observe que $a=b=c=d=e=f=1$ alcanza este valor.