Griffiths Intro to QM Sección 9.1.2: ¿Qué tipo de aproximación está utilizando aquí y cuál es la justificación para ello?

Question

Realmente no entiendo la lógica de Griffiths en esta sección y me preguntaba si alguien podría ayudar. Esto es básicamente un sistema acoplado de 1er orden de ecuaciones diferenciales ordinarias pero no he visto una aproximación como esta antes.

En aras de la brevedad $f(t)=-\frac{i}{\hbar}H'_{ab}e^{-i\omega_0t}$ y $g(t)=-\frac{i}{\hbar}H'_{ba}e^{i\omega_0t}$ por lo que el sistema de ecuaciones es (a partir de la ecuación 9.13 de Griffiths)

$$ \begin{align*} \dot c_a &= f(t)\,c_b\\ \dot c_b &= g(t)\,c_a \hspace{10mm} [9.13] \end{align*} $$

Nota: ambos $c_a$ y $c_b$ son funciones del tiempo. Griffiths pasa a expresar la derivada de un $n$ de orden como proporcional a la siguiente aproximación de orden inferior de la otra variable del sistema.

Por ejemplo, en la ecuación 9.18 Griffiths afirma

$$ \frac{d c_a^{(2)}}{dt} = f(t) \, c_b^{(1)} \hspace{10mm} [9.18] $$

No veo cómo justificar esto. (Nota: Griffith dice que su superíndice entre paréntesis indica el orden de la aproximación).

Así que según mi lectura de esto $c_a^{(n)}$ y $c_b^{(n)}$ son sólo $n$ de orden de las expansiones de $c_a$ y $c_b$ . Así que en mi mente estoy pensando que si estamos aproximando cada uno a $n$ términos, algo como la ecuación 9.18 anterior debería ser

$$ \frac{d c_a^{(2)}}{dt} = f(t) \, c_b^{(2)} \hspace{10mm} $$

En otras palabras, estamos tomando la derivada de $c_a$ y sólo lo aproximamos a, digamos, 2 términos, entonces no deberíamos utilizar la misma aproximación de orden para $c_b$ en el sistema de ecuaciones [9.13]?

Entonces, ¿por qué puede hacer esto Griffiths? ¿Por qué podemos simplemente pegar la aproximación de orden inferior para resolver el siguiente?

Answer 1

Se trata de una expansión perturbativa típica, aunque presentada de forma más pedestre.

Lo que se suele hacer para facilitar la expansión, es adjuntar a $H'$ una constante de acoplamiento o de escala (independiente del tiempo), por ejemplo $H' \rightarrow \lambda H'$ y hacer explícita la suposición de que las soluciones se buscan como expansiones perturbativas en $\lambda$ : $$ c_a(t) = c_a^{(0)}(t) + \lambda c_a^{(1)}(t) + \lambda^2 c_a^{(2)}(t) + \dots\\ c_b(t) = c_b^{(0)}(t) + \lambda c_b^{(1)}(t) + \lambda^2 c_b^{(2)}(t) + \dots $$ Cuando se sustituyen en sus ecuaciones(9.13), estas expansiones generan una jerarquía de ecuaciones diferenciales a partir de la exigencia de que las expansiones polinómicas se mantienen para $\lambda$ . Es decir, obtener primero $$ \dot c_a^{(0)}(t) + \lambda \dot c_a^{(1)}(t) + \lambda^2 \dot c_a^{(2)}(t) + \dots = \lambda f(t)\left[ c_b^{(0)}(t) + \lambda c_b^{(1)}(t) + \lambda^2 c_b^{(2)}(t) + \dots \right]\\ \dot c_b^{(0)}(t) + \lambda \dot c_b^{(1)}(t) + \lambda^2 \dot c_b^{(2)}(t) + \dots = \lambda g(t)\left[ c_a^{(0)}(t) + \lambda c_a^{(1)}(t) + \lambda^2 c_a^{(2)}(t) + \dots \right] $$ entonces identifica los coeficientes de las sucesivas potencias de $\lambda$ :

$\lambda^0$ : $$ \dot c_a^{(0)}(t) = 0\\ \dot c_b^{(0)}(t) = 0 $$ $\lambda$ : $$ \dot c_a^{(1)} = f(t) c_b^{(0)}\\ \dot c_b^{(1)} = g(t) c_a^{(0)} $$ $\lambda^2$ : $$ \dot c_a^{(2)} = f(t) c_b^{(1)}\\ \dot c_b^{(2)} = g(t) c_a^{(1)} $$ En general, para $k\ge 1$ , $$ \dot c_a^{(k)} = f(t) c_b^{(k-1)}\\ \dot c_b^{(k)} = g(t) c_a^{(k-1)} $$ El resto se deduce de la resolución sucesiva de las ecuaciones de orden inferior y de la sustitución del conjunto de orden siguiente.