Paralelizabilidad de los grupos de Lie

Question

He tratado mucho de probar este conocido resultado. La idea básica de la prueba está clara para mí. Pero estoy atascado en demostrar cualquiera de las siguientes condiciones:

1. El mapa $\ G \rightarrow TG \ $ dado por $ \ g \mapsto (L_{g})_{*}(e)(v_{e}) \ $ es suave.

2. $\ D\star(g,e)(0_{g},-):T_{e}(G) \rightarrow T_{g}(G)\ $ es un isomorfismo del espacio vectorial.

   Donde G es el grupo de Lie, e es el elemento identidad y star es la operación de multiplicación. Ya hay una solución disponible en stackexchage pero la solución no es correcta del todo. Así que será muy útil si alguien proporciona detalles. Estoy completamente atascado en mostrar la suavidad del mapa usando gráficos. Por favor, ayuda.

Answer 1

Denote $L_g$ como el mapa $G\to G$ dada por la multiplicación por la izquierda de $G$ . Considere el mapa $f: G \times T_eG \to TG$ donde $f(g,v)=(g,dL_g(v))$ . Si diferenciamos el mapa del producto, $P: G\times G \to G$ en $(g,e)$ de la división $T_gG\times T_eG \cong T_{(g,e)}(G\times G)$ obtenemos $dP(g,e)=dL_g|_{T_eG}+Id|_{T_gG}$ . Por lo tanto, por la suavidad del mapa del producto $f$ es suave. $dL_g$ es la derivada de un difeomorfismo $((L_g)^{-1}=L_{g^-1})$ por lo que es un isomorfismo lineal, por lo que $f$ es un isomorfismo de haces vectoriales.