$\int_0^1\frac{(f(x)-1)^2 -4x^2}{x^{3.5}}\,dx$ existe. Calcular $f(0)$ y $f'(0)$

Question

He intentado de alguna manera usar a Taylor para tratar de entender esto.

Lamentablemente, no he podido obtener una respuesta sólida. Muchas gracias por su ayuda.

Sea f una función continua, $$f:R\rightarrow R$$ $$f(x), \ f'(x) \ , \ f''(x) \ \text{are continuous} $$

y que la integral $$\int_0^1\frac{(f(x)-1)^2 -4x^2}{x^{3.5}}\,dx \space \text{exist and be finite}$$

Encuentre el valor de $$f(0)\ \text{and}\ |f'(0)|$$

Answer 1

Dejemos que $a=f(0)-1, b=f'(0)$ . Entonces la continuidad de la segunda derivada da $f(x)= 1+a+ bx+O(x^2)$ y por lo tanto el integrando es $$\frac{(a+bx+O(x^2))^2-4x^2}{x^{3.5}} = \frac{a^2+2abx+(b^2+a\times\cdots-4)x^2+O(x^3)}{x^{3.5}}$$ Una función como $x^c$ es integrable en el origen sólo si $c>-1$ (comprobar) y, por tanto, el primer término del numerador que puede ser distinto de cero es el término cúbico.

Deberías ser capaz de averiguar qué $a,|b|$ son ahora.