¿Asíntotas oblicuas?

Question

Una función racional, $\frac{p(x)}{q(x)}$ tiene una asíntota oblicua sólo cuando el grado de $p(x)=$ grado de $q(x) -1$ .

• ¿Qué "causa" la "inclinación" de la asíntota? La mayoría de las asíntotas son causadas por una función que se aproxima a un valor indefinido - supongo que esto es lo mismo, pero ¿por qué (a diferencia de otras) estas asíntotas estarían inclinadas?

• ¿Por qué sólo funciona con una diferencia de 1 entre grados?

Answer 1

Escriba $p(x) = (a + bx)*q(x) + r(x)$ dividiendo tenemos $$ {p(x)\over q(x)} = a + bx + {r(x)\over q(x)},$$ donde $\deg(r) < \deg(q)$ . El último término decae a cero como $|x|\to\infty$ y su asíntota oblicua será la línea $y = a + bx$ .

Se puede tener una diferencia mayor de 1 de grados. En este caso, su gráfico tendrá la gráfica de un polinomio como asíntota en $\pm\infty$ .

Answer 2

Funciona con grados arbitrarios, sólo que con grados mayores las asíntotas no serán rectas sino parábolas, etc.

Considere un ejemplo: $f(x)=\frac{4x^3+1}{2x^2}=2x+\frac{1}{2x^2}$ la última parte va hacia cero como $x$ se hace grande. Puedes hacer eso con cualquier función de este tipo: hacer una división larga polinómica y escribir el residuo. Esto siempre se verá como $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=cx+ d + \frac{r(x)}{q(x)}$ donde $c,d$ son constantes y $deg\ r < deg\ q$ por lo que esta última fracción se aproxima a cero a medida que $|x|\rightarrow\infty$ .

Answer 3

Solemos decir que una función tiene una asíntota oblicua $y=ax+b$ si

$$\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=a \text{ ; and} $$ $$\lim_{x\to \infty}{f(x)}-{ax}=b $$

Esto es básicamente decir, para $x$ suficientemente grande, la función se asemeja a la línea $y=ax+b$ . Este es un caso especial de lo que llamamos "comportamiento asintótico" de una función. En particular, dadas dos funciones polinómicas $p$ y $q$ el cociente

$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$

se comportará asintóticamente como una línea $y=ax+b$ si $\deg p =\deg q+1$ . ¿A qué se debe esto? Examinemos los polinomios

$$q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+a_0 \text{ ; } a_n\neq0$$

$$p(x)=b_{n+1}x^{n+1}+b_{n}x^{n}\cdots+b_0 \text{ ; } b_{n+1}\neq0$$

Tenemos que su cociente es

$$f(x)=\frac{{p(x)}}{{q\left( x \right)}} = \frac{{{b_{n + 1}}{x^{n + 1}} + {b_n}{x^n} \cdots + {b_0}{\text{ }}}}{{{a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} \cdots + {a_0}}}$$

Y ahora, si dividimos por $x$ y encontrar el límite para $x\to \infty$ encontramos

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x}\frac{{{b_{n + 1}}{x^{n + 1}} + {b_n}{x^n} \cdots + {b_0}{\text{ }}}}{{{a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} \cdots + {a_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{b_{n + 1}}{x^n} + {b_n}{x^{n - 1}} \cdots + \frac{{{b_0}}}{x}{\text{ }}}}{{{a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} \cdots + {a_0}}}$$

Obsérvese que ahora, salvo la insignificante $\dfrac{b_0}{x}$ tenemos un cociente de polinomios de igual grado, precisamente porque al dividir por $x$ los grados fueron equiparados. Así que este límite será constante, de hecho tenemos

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{b_{n + 1}}{x^n} + {b_n}{x^{n - 1}} \cdots + \frac{{{b_0}}}{x}{\text{ }}}}{{{a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} \cdots + {a_0}}} = \frac{{{b_{n + 1}}}}{{{a_n}}}$$

Calculando la segunda parte del límite, obtenemos

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) - \frac{{{b_{n + 1}}}}{{{a_n}}}x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{b_{n + 1}}{x^{n + 1}} + {b_n}{x^n} \cdots + {b_0}{\text{ }}}}{{{a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} \cdots + {a_0}}} - \frac{{{b_{n + 1}}}}{{{a_n}}}x$$

debido al factor de $\dfrac{{{b_{n + 1}}}}{{{a_n}}}$ el $x^{n+1}$ te anulará (el álgebra de esto es un poco liosa) pero acabarás de nuevo con un cociente de polinomios de igual grado:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left( {{b_n} - \frac{{{b_{n + 1}}}}{{{a_n}}}{a_{n - 1}}} \right){x^n} + \cdots + {b_0}{\text{ }}}}{{{a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} \cdots + {a_0}}} = \frac{{{b_n}}}{{{a_n}}} - \frac{{{b_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_n}}}$$

por lo que la asíntota que se obtiene es

$$y = \frac{{{b_{n + 1}}}}{{{a_n}}}x + \frac{{{b_n}}}{{{a_n}}} - \frac{{{b_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_n}}}$$

¿Y por qué obtenemos una línea recta sólo cuando la diferencia es $1$ ? Que porque dividimos por $x^1$ (que disminuye el grado del denominador en $1$ ). Sin embargo, si los grados difieren, por ejemplo $r$ la función racional se comportará asintóticamente como un polinomio de grado $r$

Answer 4

Dejemos que $p(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} a_kx^k$ y $q(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^n b_k x^k.$

$\displaystyle\lim_{x\to \infty } \frac{p(x)}{q(x)} = \displaystyle\lim_{x\to \infty } [(\displaystyle\sum_{k=0} a_k x^{k-n})/(\displaystyle\sum_{k=0}^n b_k x^{k-n})].$ $k<n$ para todos los sumandos menos uno en el denominador y todos menos dos en el numerador, por lo que la función racional es asintótica $\frac{a_{n+1}}{b_n} x + \frac{a_n}{b_n}.$

Para los casos de grado superior $p,$ el mismo método exacto le dará los coeficientes de un polinomio asintóticamente similar a $p/q.$