Resto de la división de polinomios cuando el divisor es cuadrado sin cálculo

Question

El problema se plantea como sigue:

Dejemos que $p(x) = x^{2004} - x^{1901} - 50$ . ¿Cuál es el resto de la división de $p(x)$ por $(x-1)^2$ .

La solución es sencilla si se utiliza la derivada de $p(x)$ . Sin embargo, teniendo en cuenta que me topé con este problema en un libro de texto de la escuela secundaria, supongo que existe una solución elegante sin el uso del cálculo.

Answer 1

Dejemos que $$ x^{2004}-x^{1901}-50=q(x)(x-1)^2+ax+b. $$ Traducir por $-1$ tenemos $$\begin{align*} q(x+1)x^2+ax+(a+b)&=(x+1)^{2004}-(x+1)^{1901}-50\\&=\sum_{j=0}^{2004}\binom{2004}jx^j-\sum_{j=0}^{1901}\binom{1901}jx^j-50 \\&= \text{(higher order terms})+103x-50. \end{align*}$$ Esto da $a=103$ y $b=-153$ .

Answer 2

Escribe: $$x^{2004} - x^{1901} - 50 = (x-1)^2k(x)+ax+b$$

Configurar $x=1$ obtenemos $$-50 = a+b\implies b=-50-a$$

así que $$x^{2004} - x^{1901} - 50 = (x-1)^2k(x)+ax-a-50$$

así que $$x^{1901}(x^{103}-1) = (x-1)^2k(x)+a(x-1)$$

así que $$ x^{1901}(x^{102}+ x^{101}+...+x+1)= (x-1)k(x)+a$$

y finalmente poner $x=1$ de nuevo obtenemos $$103 =a\implies r(x)=103x-153$$

Answer 3

$x\!=\!1\,\Rightarrow\, p = -50 + (x\!-\!1)\color{#c00}g.\ $ $\, g = \dfrac{p+50}{x-1}=x^{1901}\,\dfrac{x^{103}\!-\!1}{x\!-\!1} = x^{1901}(x^{102}+\cdots+x+1)\,$

así que $\,x\!=\!1\,\Rightarrow\,\color{#c00}g = 103+(x\!-\!1)h\ $ así $\ p = -50+103(x\!-\!1)+(x\!-\!1)^2h$