Si G es un grupo de orden n=35, entonces es cíclico

Question

Me han pedido que lo demuestre.

En clase lo comprobamos cuando $n=15$ pero nuestro enfoque me pareció innecesariamente complicado. Invocamos los teoremas de Sylow, los normalizadores, etc. He buscado en Internet y he encontrado otros ejemplos de este enfoque.

Me pregunto si es realmente innecesario, o si hay algo malo en la siguiente prueba:

Si $|G|=35=5\cdot7$ entonces, por el teorema de Cauchy, existe $x,y \in G$ tal que $o(x)=5$ , $o(y)=7$ . El orden del producto $xy$ es entonces $\text{lcm}(5,7)=35$ . Como hemos encontrado un elemento de $G$ de orden 35, concluimos que $G$ es cíclico.

Gracias.

Answer 1

Como ejemplo concreto, consideremos las permutaciones de un solo ciclo $(1,2,3,4,5)$ y $(1,2,3,4,5,6,7)$ , con órdenes $5$ y $7$ respectivamente. Su producto es el ciclo $(1,3,5,2,4,6,7)$ de orden $7$ .

Por otro lado, elige dos ejes arbitrarios en $\mathbb R^3$ y considerar los grupos de simetría de rotación quíntuple y séptuple alrededor de estos ejes. Se trata de grupos cíclicos de órdenes $5$ y $7$ respectivamente, pero el producto de dos elementos, uno de cada grupo, no suele ser una rotación por un múltiplo racional de $\pi$ y, por tanto, es generalmente de orden infinito. Se puede ver esto variando uno de los ejes; entonces el ángulo de rotación del producto varía continuamente con la orientación del eje, y así por el teorema del valor intermedio toma múltiplos irracionales de $\pi$ .

Answer 2

Aquí hay un argumento para contar. Si $G$ no es cíclico, entonces cada elemento de $G$ es de orden $1$ , $5$ o $7$ y, como se ha señalado anteriormente, ningún elemento de orden $5$ conmuta con cualquier elemento de orden $7$ .

Dejemos que $G_5$ sean los elementos de orden $5$ . Podemos ver que $4\mid|G_5|$ por medio de la división $G_5$ en conjuntos $\{g,g^2,g^3,g^4\}$ .

Por otro lado, dada una $y$ de orden $7$ podemos dividir $G_5$ en conjuntos de $7$ ya que podemos separar los elementos $G_5$ en conjuntos $\{g,ygy^{-1},y^2gy^{-2},...,y^6gy^{-6}\}$ (Tenga en cuenta que, si $y^igy^{-i} = y^jgy^{-j}$ entonces $y^{i-j}g = gy^{i-j}$ . Así que esto debe dar $7$ valores distintos, o algunos $y^{i-j}$ se desplaza con $g$ , lo que implicaría que $G$ es cíclico).

Así que, $28\mid |G_5|$ . De la misma manera, $30\mid |G_7|$ . Pero $35 = 1 + |G_5| + |G_7|$

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Tenga en cuenta que en realidad no necesita Sylow para demostrar que hay elementos de orden $5$ y $7$ aquí, porque si $G$ no es cíclico, tienes que $35=1+|G_5|+|G_7|$ y $|G_5|$ es un múltiplo de $4$ y $|G_7|$ es múltiplo de $6$ por lo que no es posible que ninguno de los dos sea $0$ .

Answer 3

Creo que podemos demostrar esto con mayor generalidad si tenemos que $|G|=pq$ con $p,q$ de primera, $p> q$ y $q\not \mid(p-1)$

A partir del teorema de Sylow tenemos entonces que el número de grupos sylow-p es $1$ y luego como:

$|Syl_q(G)|\equiv 1 \pmod q$ y $|Syl_q(G)||p$ pero $q\not \mid (p-1)$ esto da entonces que el número de grupos de Sylow q es también $1$

Entonces tenemos que $G=C_p\times C_q$ y, por lo tanto, es abeliano, por lo que si dejamos que $C_p= \langle g \rangle$ y $C_q= \langle h \rangle$ entonces tenemos $o(gh)=lcm(o(g),o(h))=lcm(p,q)=pq$ y por lo tanto tenemos que $G$ es cíclico

Answer 4

Aquí hay otro,

Supongamos que no hay elementos de orden $35$ .

Como $35 = 5 \cdot 7$ por el teorema de Sylow debe haber $1 \pmod 5$ subgrupos de orden $5$ . Y $1 \pmod 7$ de orden $7$ .

Ahora bien, si hay $8$ subgrupos de orden $7$ , entonces cada uno contiene $6$ elementos distintos $+$ id, por lo que habría $6 \cdot 8 = 48$ elementos distintos en el grupo. Esto es claramente falso, por lo que sólo puede haber $1$ subgrupo de orden $7$ . Así que hay $6$ elementos de orden $7$ .

Aparte de la identidad, todos los demás elementos deben tener orden $5$ . Así que hay $35 - 6 - 1 = 28$ elementos de orden $5$ . Podemos dividirlos en distintos subgrupos, cada uno de los cuales contiene $4$ elementos distintos $+$ id. Así que hay $7$ subgrupos de orden $5$ .

Pero $7 = 2 \pmod 5$ por lo que esto contradice el teorema de Sylow. Así que debe haber un elemento de orden $35$ y $G$ es cíclico.

Answer 5

Otro ejemplo explícito:

Considere $$ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{array} \right), \quad \text{and} \quad B = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right). $$ Entonces, $A^2 = B^2 = I$ pero $$ AB = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ tiene un orden infinito.

También hay que mencionar que si $x$ tiene orden $n$ y $y$ tiene orden $m$ y $x$ y $y$ de viaje: $xy = yx$ , entonces el orden de $xy$ divide $\text{lcm}(m,n)$ aunque el orden de $xy$ no es $\text{lcm}(m,n)$ en general. Por ejemplo, si un elemento $g \in G$ tiene orden $n$ entonces $g^{-1}$ también tiene orden $n$ pero $g g^{-1}$ tiene orden $1$ . El ejemplo de Joriki también proporciona un escenario en el que el orden de $xy$ no es $\text{lcm}(m,n)$ en general.