Relación entre series y ecuaciones

Question

Hay siguientes citas de wiki en el número de plástico:

Las potencias del número de plástico $A(n) = ^n$ satisfacen la relación de recurrencia $A(n) = A(n 2) + A(n 3)$ para $n > 2$ .

Y la segunda es que

El número plástico es la única solución real de la ecuación $x^3=x+1$

Esta última ecuación cúbica y la relación de recurrencia se parecen mucho si se asume que n representa la 3ª potencia de x, correspondientemente n-2 representaría a la propia x y n-3 representaría a 1.

Pero, ¿cuál es la justificación matemática para asociar la secuencia y la ecuación?

Recuerdo que hicimos este truco en la universidad para encontrar la fórmula de los números Nth Fibbonachi (que es $A(n) = A(n 1) + A(n 2)$ y en consecuencia $x^2=x+1$ ) pero fue hace demasiado tiempo..

Answer 1

La justificación matemática es la asociación estándar de una recurrencia lineal con su polinomio polinomio asociado.

Si la recurrencia es $\sum\limits_{k=0}^m c_k a_{n-k} = 0 $ (con $c_0 \ne 0$ ), si asumimos que $a_n = r^n$ con $r \ne 0$ , obtenemos $0 =\sum\limits_{k=0}^m c_k r^{n-k} =r^n\sum\limits_{k=0}^m c_k r^{-k} $ , por lo que $1/r$ es una raíz de $C(x) =\sum\limits_{k=0}^m c_k x^{k} $ .

Las condiciones iniciales para el $a_i$ entonces determine qué combinación lineal de las raíces de $C(x)$ dar la fórmula para el $a_n$ .

Hay más complicaciones si $C(x)$ tiene raíces repetidas, pero esta es la razón por la que la recurrencia lleva a un polinomio.

Otro buen resultado de utilizar el polinomio es que el mayor (o quizás la más pequeña) raíz determina el crecimiento asintótico de la recurrencia.

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Answer 2

La fórmula $$\rho^n=A(n-2)+A(n-3)$$ es errónea, como demuestra un pequeño cálculo.

Pero la expresión correcta para obtener la secuencia en A000931 es tomando las tres raíces de $x^3-x-1=0$ .

Si $r,s,t$ son aquellos (con $r$ el real) entonces la corrección es $$A(n)=\frac{r^n}{2 r+3}+\frac{s^n}{2 s+3}+\frac{t^n}{2 t+3}.\qquad (1)$$ Obviamente hay que corregir la entrada en wikipedia.

Todavía no sé cómo deducir $(1)$ que está presente en la mencionada entrada de la OEIS, acreditada a Keith Schneider.

Answer 3

Esto es excesivamente complejo y arcano. La propiedad que define al número plástico es que es un número mórfico y satisface las relaciones $p-1=p^{-4}$ y $p+1=p^3$ . De ello se desprende que $p^n=p^{n-1}+p^{n-5}$ y $p^n=p^{n+2}-p^{n-1}$ . Eso es todo.