Distribución de la diferencia de dos variables dada la distribución condicional

Question

Supongamos que $(\Omega,\Sigma,\mathbb P)$ es un espacio de probabilidad y sea $Y$  y $Z$ sean dos de valor real, $\Sigma$ -a funciones medibles de Borel en este espacio.

Supongamos que la distribución de $Y$ con la condición de $Z$ satisface $$\mathbb P(Y\leq y\lvert\rvert Z)=F(y-Z)\quad\text{almost surely, for each $ y\in\mathbb R $},\tag{$ \N - Clubsuit $}$$ donde $F:\mathbb R\to[0,1]$  es algún tipo de no-decrecimiento ( a fortioria Función de distribución (medible por el barreno).

La forma de las probabilidades condicionales ( $\clubsuit$ ) me lleva a formular las siguientes dos conjeturas, que me ha costado mucho demostrar:

Conjetura 1: La distribución incondicional de $Y-Z$  satisface \begin{align*} \mathbb P(Y-Z\leq y)=F(y)\quad\text{for each $y\in\mathbb R$}; \end{align*}

y

Conjetura 2: Las variables $Y-Z$  y $Z$ son independientes.

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

(A) Que $G$ sea la función de distribución de $Z$ . Entonces, $$P(Y-Z\leq y)=\int P(Y\leq z+y|Z=z)dG(z)=\int F(y-z+z)dG(z)=F(y)\int dG(z)=F(y)$$

(B) $P[Y-Z\leq y|Z]=P[Y\leq Z+y|Z]=F(Z+y-Z)=F(y)$ independiente de $Z$ . Por lo tanto, la independencia sigue.