Composición de dos rotaciones del mismo ángulo $\alpha$ puntos de fijación $a,b \in{S^2}$

Question

Dejemos que $g,h$ sean rotaciones del mismo ángulo $\alpha$ alrededor de los puntos fijos $a,b \in{S^2}$ . Mostrar $gh$ fija $c \in{S^2}$ en el gran círculo que forma la bisectriz del segmento $ab$ , de tal manera que $ac$ y $bc$ hacer un ángulo $\alpha/2$ con $ab$ .

Lo único que sé es que dos rotaciones del mismo ángulo se conjugan, pero aparte de eso no sé mucho. $gh$ es la composición de dos rotaciones y por lo tanto es una rotación, así que por definición debe fijar un punto (técnicamente puntos antipodales), pero no puedo ver cómo mostrar que se encuentra en este gran círculo. Tiene sentido intuitivo que el punto sea de alguna manera un "promedio" de puntos $a$ y $b$ pero no puedo ver cómo se puede mostrar esto.

Se agradece cualquier indicación en la dirección correcta.

Answer 1

Esta mañana me he despertado con la respuesta en la cabeza. Mira esta foto en el avión:

Considere el punto $P$ . Bajo una rotación de ángulo $\alpha$ sobre $A$ (en el sentido de las agujas del reloj), $P$ se trasladará a $Q$ . Al girar entonces sobre $B$ en el sentido de las agujas del reloj por $\alpha$ , $Q$ se trasladará de nuevo a $P$ . ¿El resultado neto? El punto $P$ termina fijada por la secuencia de dos rotaciones.

Ahora imagina que esto es realmente una toma aérea de una esfera. Estamos mirando hacia abajo en una porción del gran círculo entre $A$ y $B$ Esa parte está dibujada en azul. El gran círculo ortogonal, que pasa por el punto medio del segmento azul, se dibuja en naranja (¡o al menos una parte de él!). Rotación de la esfera alrededor de $A$ por ángulo $\alpha$ volverá a tomar $P$ a $Q$ y el mismo argumento se aplica a $B$ y ya está.

Usted podría decir: "Pero, ¿y si $A$ y $B$ están muy separados, como $3\pi/2$ ¿separado? Entonces podemos mirar desde el otro lado, donde sólo estarán $\pi/2$ aparte. Para dos puntos cualesquiera que no sean antípodas, existe un hemisferio cuyo gran círculo central los contiene a ambos, siendo el punto central del hemisferio el punto medio de $A$ y $B$ a lo largo del gran círculo. Una vez que tengas eso, esta imagen es todo lo que necesitas.

(Argumento más formal: bajo la proyección estereográfica de la esfera al plano tangente al punto medio (esférico) de $A$ y $B$ la figura descrita en el problema se convierte en la figura dibujada en este plano. Como la proyección estereográfica es conforme, los ángulos se conservan, y los grandes círculos se convierten en grandes círculos o en líneas, etc.)

Answer 2

Dejemos que $$ \mathbf{K_a}= \left[\begin{array}{ccc} 0& -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{array}\right] $$ donde $a = [a_1, a_2, a_3]$ Entonces $$ \mathbf{R_a} = \mathbf{I} + (\sin\alpha) \mathbf{K_a} + (1-\cos\alpha)\mathbf{K_a}^2 $$ es la rotación por el vector $a$ . (Esto se llama la fórmula de Rodrigues).

Con esto se puede escribir la fórmula de $K_b$ también, y multiplicar $K_b K_a$ por $a+b$ (que es justo el doble de la media) para ver que fija el vector correcto. Es útil recordar que $K_x x = 0$ para cualquier vector $x$ . Vamos a hacerlo. Voy a dejar que $c$ y $s$ denotan el coseno y el seno de $\alpha$ . \begin{align} \mathbf{R_b}\mathbf{R_a}(\mathbf{a}+\mathbf{b}) &= (\mathbf{I} + (\sin\alpha) \mathbf{K_b} + (1-\cos\alpha)\mathbf{K_b}^2)(\mathbf{I} + (\sin\alpha) \mathbf{K_a} + (1-\cos\alpha)\mathbf{K_a}^2)(\mathbf{a}+\mathbf{b} )\\ &= (\mathbf{I} + s\mathbf{K_b} + (1-c)\mathbf{K_b}^2)(\mathbf{I}(\mathbf{a}+\mathbf{b} ) + s \mathbf{K_a}(\mathbf{a}+\mathbf{b} ) + (1-c)\mathbf{K_a}^2 (\mathbf{a}+\mathbf{b} )\\ &= (\mathbf{I} + s\mathbf{K_b} + (1-c)\mathbf{K_b}^2)((\mathbf{a}+\mathbf{b} ) + s \mathbf{K_a}\mathbf{b} + (1-c)\mathbf{K_a}^2 \mathbf{b} ) \end{align} Ahora utilizamos el hecho de que $K_a \mathbf{u} = \mathbf{a} \times \mathbf{u} $ para cualquier $\mathbf{u}$ y de forma similar para $K_b$ para conseguir $$ \newcommand{\a}{\mathbf{a}} \newcommand{\b}{\mathbf{b}} \newcommand{\u}{\mathbf{u}} \newcommand{\v}{\mathbf{v}} $$ \begin{align} \mathbf{R_b}\mathbf{R_a}(\a+\b) &=(\mathbf{I} + s\mathbf{K_b} + (1-c)\mathbf{K_b}^2)((\a+\b) + s \mathbf{K_a}\b + (1-c)\mathbf{K_a}^2 \b)\\ &= (\mathbf{I} + s\mathbf{K_b} + (1-c)\mathbf{K_b}^2)((\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)(\a \times (\a \times \b))\\ &= \left[ ((\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)(\a \times (\a \times \b)) \right] + s \b \times \left[ ((\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)(\a \times (\a \times \b)) \right] + (1-c) \b \times \left( \b \times \left[ ((\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)(\a \times (\a \times \b)) \right]\right ) \end{align} Ugh. Bastante feo. Dejemos que $\u$ denotan $\a \times (\a \times \b)$ y $\v$ denotan $\b \times (\b \times \a)$ . Entonces utiliza el hecho de que $\mathbf{w \times w} = 0$ para cualquier vector $\mathbf{w}$ repetidamente, y obtenemos \begin{align} \mathbf{R_b}\mathbf{R_a}(\a+\b) &= \left[ (\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)\u \right] + s \b \times \left[ (\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)\u \right] + (1-c) \b \times \left( \b \times \left[ (\a+\b\ ) + s \a \times \b + (1-c)\u \right]\right ) \\ &= \left[ (\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)\u \right] + \left[ (s \b \times (\a+\b) + s^2 (\b \times \a) \times \b + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \b \times \left( \b \times \left[ ((\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)\u \right]\right ) \\ &= \left[\a+\b + s \a \times \b + (1-c)\u \right] + \left[ -s \a \times \b - s^2 (\a \times \b) \times \b + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \b \times \left( \b \times \left[ (\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)\u \right]\right ) \end{align} Y en este punto, tenemos nuestra primera cancelación -- los términos segundo y cuarto -- así que los cancelamos y ampliamos los productos cruzados en los últimos términos: \begin{align} \mathbf{R_b}\mathbf{R_a}(\a+\b) &= \left[\a+\b + (1-c)\u \right] + \left[ - s^2 (\a \times \b) \times \b + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \b \times \left( \b \times \left[ (\a+\b) + s \a \times \b + (1-c)\u \right]\right ) \\ &= \left[\a+\b + (1-c)\u \right] + \left[ - s^2 (\a \times \b) \times \b + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \b \times \left[ (\b \times\a) + s \b \times (\a \times \b) + (1-c)\b \times\u \right] \\ &= \left[\a+\b + (1-c)\u \right] + \left[ - s^2 (\a \times \b) \times \b + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \b \times \left[ (\b \times\a) - s \b \times (\b \times \a) + (1-c)\b \times\u \right] \\ &= \left[\a+\b + (1-c)\u \right] + \left[ - s^2 (\a \times \b) \times \b + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \b \times \left[ (\b \times\a) - s \v + (1-c)\b \times\u \right] \\ &= \left[\a+\b + (1-c)\u \right] + \left[ + s^2 (\b \times \a) \times \b + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \b \times \left[ (\b \times\a) - s \v + (1-c)\b \times\u \right] \\ &= \left[\a+\b + (1-c)\u \right] + \left[ - s^2 \b \times (\b \times \a) + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \b \times \left[ (\b \times\a) - s \v + (1-c)\b \times\u \right] \\ &= \left[\a+\b + (1-c)\u \right] + \left[ - s^2 \v + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \left[ \b \times(\b \times\a) - s \b \times\v + (1-c)\b \times (\b \times\u )\right] \\ &= \left[\a+\b + (1-c)\u \right] + \left[ - s^2 \v + (1-c)s \b \times \u \right] + (1-c) \left[ \v - s \b \times\v + (1-c)\b \times (\b \times\u )\right] \\ \end{align}

Ahora se trata de encontrar expresiones más sencillas para $\b \times \u$ y cosas así. Le sugiero que defina $\a^\perp$ para ser $\a \times (\a \times \b)$ que es un vector perpendicular a $\a$ en el plano abarcado por $\a$ y $\b$ y definir $\b^\perp$ de manera similar. A continuación, puede utilizarlos para simplificar cosas como $\b \times \u$ .

El procesamiento de cada ecuación que escribo es cada vez más largo, y no me atrevo a escribir más... pero como este es tu problema, apuesto a que puede hacerlo.

No es una solución muy elegante, lo admito... pero te servirá.