El álgebra de Wiener $A(\mathbb T)$ se define como el espacio de todas las funciones definidas en $\mathbb T$ (el toro) tal que su serie de fourier satisface: $$\|f_n\|_{A(\mathbb T)}:=\sum\limits_{n}|\hat f(n)|<\infty.$$
Se declara una consecuencia inmediata: dejar $f_n\in A(\mathbb T)$ y $\|f_n\|\leq 1.$ Supongamos que $f_n$ convergen a $f$ uniformemente en $\mathbb T$ . Entonces $f\in A(\mathbb T)$ y $\|f\|\leq 1.$
Aquí está mi prueba que se puede saltar para los lectores que no están interesados en:
Prueba: Desde $f_n$ converge uniformemente a $f$ entonces para cualquier $m>0$ existe $N_m$ de manera que si $n\geq N_m$ , $$\sup_t|f(t)-f_n(t)|<\frac{1}{m}.$$ Para cualquier $m\in\mathbb Z, n\geq N_m$ , $$|\hat f(k)-\hat f_n(k)|=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb T}|f(t)-f_{n}(t)|e^{-ikt}dt\leq\frac{C}{mk},$$ para cualquier $k\in\mathbb Z.$
Por lo tanto, es obvio que para $n\geq N_m$ , hay que tener en cuenta $$\sum\limits_{|k|\leq m}|\hat f|=\sum\limits_{|k|\leq m}(|\hat f(k)-\hat f_n(k)|+|\hat f_n(k)|)\leq 2\sum\limits_{j=1}^m\frac{1}{mj}+1\leq 2\frac{\log m}{m}+1.$$ Como $m\rightarrow \infty,\ \|f\|_{A(\mathbb T)}\leq 1.$
Q.E.D
¿Hay algún problema en él? No encuentro ningún error en él.
Mi problema central se describe de la siguiente manera:
Problema: las condiciones no implican $\lim\|f-f_n\|_{A(\mathbb T)}=0$ Creo que esta conclusión es correcta, pero no encuentro ningún contraejemplo. ¿Puede alguien decirme el contraejemplo mi idea es construir $$ \widehat{f_n}(m)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{\mathrm{sgn}(m)}{n}& m\in[-n,n]\backslash\{0\}\\ &0 & else. \end{aligned} \right. $$ Sin embargo, no encuentro que converja uniformemente a $0.$
Este problema se desprende de Yitzhak Katznelson "Una introducción al análisis armónico".
