¿Puedo anular los factoriales en las pruebas?

Question

Me encontré con la siguiente pregunta en un curso de matemáticas discretas:

Demostrar que $ \binom{2n}{k-1} < \binom{2n}{k} $ para $k = 1, 2, \ldots , n$ .

Sugerencia: Esta debe ser una prueba escrita de forma muy limpia.

Estoy trabajando en esta prueba y estoy en un paso en el que tengo numeradores similares pero con un factorial.

Mi pregunta es: ¿Puedo "anular" los factoriales?

Answer 1

Se puede cancelar, pero hay que tener cuidado con cómo se hace. Por ejemplo: $\frac{k!}{(k+1)!}$ puede reducirse a $\frac{1}{k+1}$ cancelando la parte del factorial en la parte superior, pero no se puede cancelar como: $\frac{k!}{(k+1)!}=\frac{k}{k+1}$ anulando efectivamente el símbolo "!".

Piensa en lo que significa el factorial y te quedará claro lo que puedes hacer.

$$\frac{k!}{(k+1)!}=\frac{k(k-1)(k-2)...(3)(2)(1)}{(k+1)(k)(k-1)(k-2)...(3)(2)(1)}=\frac{1}{k+1}.$$

Otros factoriales son similares. Los datos útiles que hay que tener en cuenta son los siguientes $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ etc.

Answer 2

Pista: Después de cancelar los factoriales, descubrirás que $$ \frac{\binom{2n}{k}}{\binom{2n}{k-1}} = \frac{2n-k+1}{k} > 1. $$