¿La dirección de la velocidad angular es sólo una definición o tiene un significado físico?

Question

Soy estudiante de bachillerato así que no sé muchas matemáticas rebuscadas pero sí sé algo de cálculo y multiplicación de vectores como producto punto o cruz. Estoy aprendiendo sobre la velocidad angular. Y estoy confundido de si la dirección de la velocidad angular es sólo una definición o tiene un significado físico. He buscado esto en Internet y en varios otros lugares y, por supuesto, he encontrado la respuesta, pero es demasiado diversa, ya que alguien dice que se define y otros dicen que tiene algún significado. Me sorprendió y confundió mucho más cuando vi los giroscopios en acción.

Aquí están algunos de los trabajos de búsqueda que hice:

• Respuesta en Quora de Bibhusit Tripathy afirma que tiene cierta importancia
• Respuesta en Physics Stackexchange de The Ledge dice que es sólo una convención

Y hay varias otras páginas en internet que he probado pero esto sigue igual en todas partes. Así que lo que quiero es no sólo la respuesta sino también su validez . Gracias y agradecimiento a quien responda o ponga su empeño en esta cuestión.

Editar

Mucha gente se confunde con lo que quiero decir con la importancia física. Esto es lo que quiero decir Si una cosa tiene significado físico, entonces sus efectos serán reales y podrás verlos. Como una fuerza, aunque la fuerza en sí misma no es visible sus efectos son y eso también en la misma dirección en la que se dice que está una fuerza. Así que una dirección es real pero una cantidad asignada en esa dirección puede ser sólo para ayudarnos a resolver algunos problemas o arreglar algunos fallos y podría muy bien ser un truco matemático como una pseudo fuerza en un marco acelerado. Por lo tanto, para esta pregunta, ¿la dirección que se dice que es la dirección de la velocidad angular tiene algo físico que está sucediendo en esa dirección? Como un movimiento, no se puede decir que un coche se mueve en $-X$ dirección si se mueve en $+X$ dirección si el sistema de coordenadas ya está definido, por supuesto.

Edición 2

Todo el mundo está confundido debido a la ambigüedad de la pregunta. Aquí está la edición final y esta es la pregunta real cuya respuesta sería indirectamente la respuesta a todo este título- ¿Podríamos haber definido la dirección de la Velocidad Angular a cualquier otra dirección si tuviéramos más opciones o digamos que tuviéramos una realidad de 4 dimensiones?

Answer 1

Como la pregunta mencionaba un espacio de mayor dimensión, quería dar una respuesta que funcionara en cualquier espacio de dimensión, no sólo en el de 3. Empezaré con definiciones formales y matemáticas y luego las conectaré con la intuición física.

Rotaciones en $n$ -espacio de dimensiones forman un grupo . En concreto, forman un grupo denominado grupo ortogonal especial que se denota por $\mathrm{SO}(n)$ . $\mathrm{SO}(n)$ también es un colector liso , por lo que lo llamamos Grupo de Lie .

Cada punto de un colector tiene un espacio tangente . Los elementos de este espacio tangente se llaman vectores tangentes. Intuitivamente, un vector tangente nos dice en qué dirección movernos y a qué velocidad hacerlo. Es decir, nos da una velocidad como se ilustra a continuación:

El Álgebra de Lie de un grupo de Lie es simplemente el espacio tangente al elemento de identidad del grupo. Para $\mathrm{SO}(n)$ el elemento de identidad es la rotación que no hace nada, es decir, ninguna rotación.

Por lo tanto, un velocidad angular es un elemento del álgebra de Lie de $\mathrm{SO}(n)$ que se denota por $\mathfrak{so}(n)$ .

Nota al margen: En términos de matrices, $\mathrm{SO}(n)$ puede representarse como el conjunto de $n \times n$ matrices ortogonales con determinante 1, mientras que $\mathfrak{so}(n)$ puede representarse como el conjunto de $n \times n$ matrices antisimétricas . El matriz exponencial nos da la mapa exponencial de la segunda a la primera.

Entonces, ¿qué es $\mathfrak{so}(n)$ ¿Cómo? Intuitivamente, podemos especificar cualquier velocidad angular $\omega$ de la siguiente manera:

• Gire esto rápidamente ( $a_1$ ) en este plano ( $p_1$ ) a través del origen.
• Gire esto rápidamente ( $a_2$ ) en este plano ( $p_2$ ) a través del origen.
• etc.

Cada plano $p_i$ también lleva un orientación que nos indica en qué sentido vamos a girar.

En resumen, podemos pensar en $\omega$ como suma ponderada $a_1 p_1 + a_2 p_2 + \dots$ . Pero, ¿qué es $p_i$ ¿Matemáticamente? Para especificar un plano, sólo necesitamos 2 vectores unitarios (digamos $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ ), como se ilustra a continuación:

El plano resultante es el producto de cuña de $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ que se denota por $\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}$ . Cambiar el orden de $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ cambia la orientación del plano. Cuando se combinan, se anulan: \begin{align} \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} + \mathbf{v} \wedge \mathbf{u} = 0 \end{align}

Esto se corresponde con el hecho de que si giramos tan rápido en una dirección y tan rápido en la dirección opuesta, no obtenemos nada. Escalando cualquiera de los dos vectores por un escalar $a$ simplemente escala la velocidad angular resultante:

\begin{align} a \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = \mathbf{u} \wedge a \mathbf{v} = a (\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}) \end{align}

Así, cada sumando $a_i p_i$ de nuestra velocidad angular es el producto en cuña de 2 vectores, es decir, a hoja . Así, nuestra velocidad angular $\omega$ es una suma de cuchillas, es decir, a bivector . El conjunto de bivectores se denota por $\wedge^2 \mathbb{R}^n$ .

En 2 y 3 dimensiones, ocurre algo especial: Cualquier suma de cuchillas es una cuchilla. Por lo tanto, sólo necesitamos una única hoja para especificar una velocidad angular. En consecuencia, cada rotación es una rotación simple .

Además, en 3 dimensiones, el dual de un bivector es un vector, es decir $\star \left( \wedge^2 \mathbb{R}^3 \right) = \mathbb{R}^3$ . Por eso, en 3D solemos describir los planos mediante "vectores normales": \begin{align} \mathbf{u} \times \mathbf{v} &\stackrel{\text{def}}{=} \star (\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}) \end{align}

y las rotaciones mediante " ejes de rotación "(ver Teorema de la rotación de Euler ).

Este truco no funciona en otras dimensiones. Por ejemplo, en 2 dimensiones, el dual de un bivector es un escalar, por lo que normalmente describimos las rotaciones 2D utilizando escalares.

En el espacio de 4 dimensiones ocurre algo aún más extraño: No sólo el dual de un bivector no es un vector, sino que hay bivectores que son no cuchillas. En consecuencia, hay rotaciones en el espacio de 4 dimensiones que no pueden describirse como rotaciones en un solo plano. Éstas se denominan doble rotación . Un ejemplo es la rotación dada por

\begin{align} \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} + \mathbf{w} \wedge \mathbf{x} \end{align}

donde $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{x}$ son mutuamente ortogonales. La siguiente animación muestra una doble rotación que actúa sobre el Cubo unitario 4D (proyectado estereográficamente en 3D, por supuesto):

Answer 2

De hecho, hay una manera de expresar la velocidad angular de tal manera que no hay ambigüedad de lo que es parte de la convención.

La velocidad angular se produce en un plano, y tiene dirección y magnitud. Para especificar un plano se especifican dos vectores que se encuentran en ese plano, y el orden de los dos vectores da la dirección de la velocidad angular. La magnitud de la velocidad angular puede especificarse, por ejemplo, con un número distinto.

Si se trabajara con un espacio de cuatro dimensiones espaciales la forma anterior de especificar sería la única forma posible ; con cuatro dimensiones espaciales cada plano tiene dos vectores que son perpendiculares a él. (Y con un número mayor de dimensiones espaciales hay más vectores perpendiculares).

Nuestro espacio tiene tres dimensiones espaciales, y con tres dimensiones espaciales a notación abreviada de la velocidad angular está disponible.

En un espacio de tres dimensiones espaciales cada plano tiene un único vector que es perpendicular a ella. Así que: para especificar un plano concreto en un espacio de tres dimensiones espaciales basta con especificar el vector perpendicular a ese plano. Y entonces se puede hacer que la magnitud de ese único vector represente la magnitud de la velocidad angular.

Esa notación es mucho más corta, mucho más compacta, por lo que utilizarla es una obviedad. (No obstante, hay que tener en cuenta que es una especie de casualidad; sólo funciona con un espacio de tres dimensiones espaciales).

Sentido de giro
Hay una cosa, por supuesto. La notación es tan compacta que no hay espacio para especificar el dirección de la rotación. Se trata literalmente de una sola información: de este modo o del otro. Pero la notación abreviada no tiene espacio de sobra; no puede expresar ese bit.

Por eso la notación taquigráfica se complementa con la regla de la mano derecha, la regla de la mano derecha completa esa información necesaria.

Answer 3

En primer lugar, vamos a estar en la misma página con respecto a lo que es la velocidad angular?

La velocidad angular a menudo, denotada como $\omega$ es la tasa de desplazamiento angular, denotada como $\theta$ con respecto al tiempo, es decir, es posible que hayas visto esta ecuación muchas veces $$\displaystyle{\vec{\omega} = \frac{\vec{\theta}}{t}}$$ y si hablamos de velocidad angular instantánea entonces : $$\displaystyle{d\vec{\omega} = \frac{d\vec{\theta}} {dt}}$$ El desplazamiento angular es el cambio en el ángulo plano, subtendido por el cuerpo que realiza el movimiento, en algún punto de referencia.

Dirección de $\vec\omega$

La dirección de la velocidad angular, básicamente te dice en qué dirección está girando un cuerpo o realizando un movimiento circular con respecto a un punto de referencia, es decir, te dice la dirección del desplazamiento angular .

De la misma manera que puedes asumir qué dirección quieres tomar para que sea positiva $x$ eje y cuál para el positivo $y$ eje, también se puede asumir qué dirección tomar positiva y cuál negativa. Digamos que usted tomó el movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj como positivo, entonces usted tiene que tomar el movimiento en sentido de las agujas del reloj como negativo.

Y, por supuesto, puedes utilizar la regla del pulgar de la mano derecha, también conocida como regla del sacacorchos de Maxwell, para encontrar la dirección de la velocidad angular. Algunos profesores de secundaria, cuando enseñan mecánica a los alumnos, dicen que la velocidad angular es un vector pero la tratan como un escalar, que es equivocado .

Answer 4

Definir la velocidad angular como un vector perpendicular al plano de rotación es útil en escenarios tridimensionales porque permite sumar las velocidades angulares utilizando las reglas de adición de vectores (la regla del paralelogramo). Si un objeto gira con un vector de velocidad angular $\vec \omega_1$ en relación con un marco de referencia $F_1$ y $F_1$ está girando alrededor del mismo centro con un vector de velocidad angular $\vec \omega_2$ en relación con el marco de referencia $F_2$ entonces la velocidad angular del objeto respecto a $F_2$ es la suma de vectores $\vec \omega_1 + \vec \omega_2$ . Así que, sí, el vector de la velocidad angular tiene un significado físico.

Sin embargo, el adicional de vectores de velocidad angular seguiría funcionando si sustituimos $\vec \omega_1$ con $-\vec \omega_1$ y $\vec \omega_2$ con $-\vec \omega_2$ es decir, si utilizamos una regla de la mano izquierda en lugar de una regla de la mano derecha para encontrar la dirección del vector de velocidad angular. Así que el uso de una regla de la mano derecha para determinar la dirección del vector de velocidad angular es la parte que es la convención.

Answer 5

Los vectores que representan la rotación se eligen a lo largo del eje de rotación porque es la única dirección del sistema que no suele cambiar continuamente de dirección. Dicho esto, estos vectores pueden representar con precisión la dirección y la magnitud de las magnitudes de rotación.